Question

$\mathbb{R}$ de Sorgenfrey uzayi Lindelöf uzayi midir?

Comments

$\mathbb{R}$ ' de mi yoksa $\mathbb{R}^2$ ' de mi? Yani "Sorgenfrey line" mı yoksa "Sorgenfrey plane" mi? Hangisini soruyorsunuz?

---

<p> R de          ..
</p>

Answer 1

$\mathbb{S}$ Sorgenfrey doğrusu olsun. $\mathbb{S}$'nin Lindelöff  olduğunu gösterelim.  $\mathcal{U}$, $\mathbb{S}$'nin bir açık  örtüsü olsun. Eğer $\mathbb{S}$'nin bir $X$ alt kümesi  $\mathcal{U}$'nun sayılabilir sayıda elemanı tarafından örtülebiliyorsa  $X$ kümesine sayılabilir örtülebilir diyelim. Kolayca görülebileceği gibi $X_{1},X_{2},\ldots$ sayılabilir
örtülebilir kümelerin bir dizisi ve $X=\cup_{k=1}^{\infty }X_{k}$ ise $X$ de sayılabilir örtülebilirdir.  $n\in \mathbb{Z}$ için 
$$A_{n}=\left\{ a\in \mathbb{R}:n<a\text{ ve }\left[ n,a\right) \text{ sayılabilir örtülebilirdir}\right\}$$
olarak tanımlayalım. $n\in \mathbb{S}$ ve $\mathcal{U}$, $\mathbb{S}$ 'nin bir açık örtüsü olduğundan bir $V\in \mathcal{U}$
için $n\in V$ dir. $\left[ a,b\right)$ şeklindeki aralıklar $\mathbb{S}$ 'nin bir tabanını oluşturduğundan bir $c\in \mathbb{R}$ için $n<c$ ve  $\left[ n,c\right) \subset V$ dir. O halde $c\in A_{n}$ dir. Böylece $A_{n}\neq \phi$ olduğu görülür. Kolayca görülebileceği gibi $a\in A_{n}$ ve $n<b<a$ ise $b\in A_{n}$ dir.
Bir başka deyişle $a\in A_{n}$ ise $\left( n,a\right) \subset A_{n}$ dir. $A_{n}=\left( n,\infty \right)$ olduğunu gösterelim. Aksine $n<x$ ve $x\notin A_{n}$ olacak şekilde bir $x\in \mathbb{R}$ olduğunu varsayalım.
$$B_{n}=\left\{ z\in \mathbb{R}:n<z\text{ ve }z\notin A_{n}\text{ }\right\} \text{ ve }\beta =\inf B_{n}$$
koyalım.  $c\in A_{n}$ olduğundan $\left( n,c\right) \subset A_{n}$
dir. O halde $z\in B_{n}$ ise $c\leq z$ olur. O halde $n<c\leq \beta$ dır. Ayrıca $\beta$ nın minimalliğinden dolayı  $n<b<\beta$ ise $b\in A_{n}$ dir. O halde $\left( n,\beta \right) \subset A_{n}$ dir. Her $k\in \mathbb{N}$ için $n<a_{k}=\beta -\frac{\beta -n}{2k}<\beta$ olduğundan $a_{k}\in A_{n}$ olur. O halde
$$\cup_{k=1}^{\infty }\left[ n,a_{k}\right) =\left[ n,\beta \right)$$
sayılabilir örtülebilirdir.  $\mathcal{U}$, $\mathbb{S}$'nin bir açık örtüsü olduğundan bir $W\in \mathcal{U}$ için $\beta \in W$ olur. Bir $d\in \mathbb{R}$ için $n<d$ ve $\left[ \beta ,d\right) \subset W$ olur. O halde   
$$\left[ n,\beta \right) \cup \left[ \beta ,d\right) =\left[ n,d\right)$$
sayılabilir örtülebilirdir. Bir başka deyişle $d\in A_{n}$
dir. Bu ise $\beta \in \left( n,d\right) \subset A_{n}$ çelişkisini verir. O halde $A_{n}=\left( n,\infty \right)$ dir. Böylece
$$\mathbb{S=R=}\cup_{n\in \mathbb{Z}}\left( n,\infty \right)$$
olduğundan $\mathbb{S}$ sayılabilir örtülebilir olduğu görülür.

O halde $\mathbb{S}$ bir Lindelöff uzaydır.