$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere $$\tau=\left\{A| \forall x(x \in A \Rightarrow \lfloor x \rfloor \in A)\right\}$$ ailesi, $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topoloji midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere

$\tau=\left\{A| x \in A \Rightarrow \lfloor  x \rfloor  \in A\right\}$ ailesi, $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topoloji midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

(NOT: $\lfloor  x \rfloor : x$' in tam değeri)

Answer 1

$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset,X\overset{?}{\in} \tau$

$$\emptyset\in\tau$$ olduğunu göstermek için $$\forall x (x \in \emptyset \Rightarrow \lfloor x \rfloor \in \emptyset)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$x\in\emptyset$ olsun.

$$(\underset{0}{\underbrace{x \in \emptyset}} \Rightarrow \underset{0}{\underbrace{\lfloor x \rfloor \in \emptyset}})\equiv (0\Rightarrow 0)\equiv 1$$

olduğundan

$$\forall x (x \in \emptyset \Rightarrow \lfloor x \rfloor \in \emptyset)$$ önermesi doğru yani $$\emptyset\in \tau$$ olur.

 

$$\mathbb{R}\in\tau$$ olduğunu göstermek için $$\forall x (x \in \mathbb{R}\Rightarrow \lfloor x \rfloor \in \mathbb{R})$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.  

$x\in\mathbb{R}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in\mathbb{R}\Rightarrow \lfloor x\rfloor\in\mathbb{Z} \\ \\ \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}\end{array}\right\}\Rightarrow \lfloor x\rfloor \in\mathbb{R}$

olur. O halde  $$\forall x (x \in \mathbb{R}\Rightarrow \lfloor x \rfloor \in \mathbb{R})$$ önermesi doğru yani $$\mathbb{R}\in\tau$$ olur.

 

$\mathbf{T_2)}$  $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız   $A\cap B\in \tau$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} x \in A\cap B\Rightarrow (x \in A)( x \in B) \\ \\ A,B \in \tau \end{array} \right\} \Rightarrow (\lfloor  x \rfloor \in A)(\lfloor  x \rfloor \in B) \Rightarrow \lfloor x \rfloor \in A\cap B$ 

O halde $A\cap B\in \tau.$ 

 

$\mathbf{T_3)}$  $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A} \in \tau$ olduğunu göstermek.

$\bigcup \mathcal{A} \in \tau \Leftrightarrow \forall x( x \in \bigcup \mathcal{A} \Rightarrow \lfloor x \rfloor \in \bigcup \mathcal{A})$

$x \in \bigcup \mathcal{A}$ olsun. (Amacımız  $\lfloor  x \rfloor \in \bigcup \mathcal{A}$ olduğunu göstermek.)

$\left.\begin{array}{rr} x \in \bigcup \mathcal{A} \Rightarrow (\exists A \in \mathcal{A})(x \in A) \\ \\ \mathcal{A}\subseteq \tau\end{array}\right\} \Rightarrow \lfloor x \rfloor \in A   \subseteq \bigcup \mathcal{A}\Rightarrow \lfloor x \rfloor \in \bigcup \mathcal{A}.$

O halde $\bigcup \mathcal{A} \in \tau.$