$f$ fonksiyonunun bijektif olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili linkte yer alan $f$ fonksiyonunun bijektif olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Teorem: $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. $f$ fonksiyonunun bir sol tersinin olması için gerek ve yeter koşul $g\circ f=I_X$ olacak şekilde en az bir $g:Y\to X$ fonksiyonunun olmasıdır. Biçimsel olarak şöyle ifade edebiliriz:

$$f\in Y^X$$

$$:\Rightarrow$$

$$f, \text{ injektif}\Leftrightarrow (\exists g\in X^Y)(g\circ f=I_X).$$

 

Teorem: $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. $f$ fonksiyonunun bir sağ tersinin olması için gerek ve yeter koşul $f\circ g=I_Y$ olacak şekilde en az bir $g:Y\to X$ fonksiyonunun olmasıdır. Biçimsel olarak şöyle ifade edebiliriz:

$$f\in Y^X$$

$$:\Rightarrow$$

$$f, \text{ surjektif}\Leftrightarrow (\exists g\in X^Y)(f\circ g=I_Y).$$

 

Teorem: $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. $f$ fonksiyonunun hem sol tersi hem de sağ tersi varsa bunlar birbirine eşittir. Biçimsel olarak şöyle ifade edebiliriz:

$$(f\in Y^X)(g,h\in X^Y)$$

$$:\Rightarrow$$

$$(g\circ f=I_X)(f\circ h=I_Y)\Rightarrow g=h.$$

 

Tanım: $f:X\to Y$ ve $g:Y\to X$ fonksiyonlar olsun. Eğer $g$ fonksiyonu, $f$ fonksiyonunun hem sol tersi hem de sağ tersi ise o zaman $g$ fonksiyonuna $f$ fonksiyonunun tersi denir ve $g=f^{-1}$ ile gösterilir. Biçimsel olarak şöyle ifade edebiliriz:

$$(f\in Y^X)(g\in X^Y)$$

$$:\Rightarrow$$

$$g, f\text{'nin tersi}:\Leftrightarrow (g\circ f=I_X)(f\circ g=I_Y).$$   

Sonuç: $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. $f$ fonksiyonunun tersinin olması için gerek ve yeter koşul $f$ fonksiyonunun bijektif (injektif (birebir) ve surjektif (örten)) olmasıdır.

 

Bu teoremlerin kanıtları sitede mevcut. Şimdi bu bilgiler ışığı altında artık sorumuzun yanıtına geçebiliriz.

 

$f$ fonksiyonunun bijektif olduğunu göstermek için en az bir tane tersinin olduğunu göstereceğiz (ki bu da zaten bir tanedir).

 

$\frac{2x}{2-y}=t$ dersek $x$ ve $y,$ $t$ cinsinden  

$\left.\begin{array}{rr} \frac{2x}{2-y}=t\Rightarrow 2x=(2-y)t \\ \\ (x,y)\in X\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1\end{array}\right\}\Rightarrow \left(x=\frac{4t}{t^2+4}\right)\left(y=\frac{2t^2}{t^2+4}\right)$

olur. Şimdi $$g(t):=\left(\frac{4t}{t^2+4},\frac{2t^2}{t^2+4}\right)$$ kuralı ile verilen $$g:\mathbb{R}\to X$$ fonksiyonunu ele alalım ve $g\circ f$ ve $f\circ g$ bileşke fonksiyonlarını hesaplayalım.

$$\begin{array}{rcl}(x,y)\in X\Rightarrow (g\circ f)(x,y) & = & g(f(x,y)) \\ \\ & = & g\left(\frac{2x}{2-y}\right) \\ \\ & = & \left(\frac{4\frac{2x}{2-y}}{\left(\frac{2x}{2-y}\right)^2+4},\frac{2\left(\frac{2x}{2-y}\right)^2}{\left(\frac{2x}{2-y}\right)^2+4}\right) \\ \\ & = & \ldots \\ \\ & = &(x,y) \\ \\ & = & I_X(x,y)\end{array}$$

ve 

$$\begin{array}{rcl} t\in \mathbb{R}\Rightarrow (f\circ g)(t) & = & f(g(t)) \\ \\ & = & f\left(\frac{4t}{t^2+4},\frac{2t^2}{t^2+4}\right) \\ \\ & = & \frac{2\frac{4t}{t^2+4}}{2-\frac{2t^2}{t^2+4}} \\ \\ & = & t \\ \\ & = & I_{\mathbb{R}}(t)\end{array}$$

olduğundan $$g\circ f=I_X$$ ve $$f\circ g=I_{\mathbb{R}}$$ elde edilir yani $g$ fonksiyonu $f$ fonksiyonunun hem sol hem de sağ tersidir yani $g$ fonksiyonu, $f$ fonksiyonunun tersidir. Dolayısıyla yukarıdaki bilgiler ışığı altında $f$ fonksiyonu bijektiftir.