Question

$f(x,y):=\frac{2x}{2-y}$ kuralı ile verilen $f:\{(x,y)|x^2+(y-1)^2=1\}\setminus \{(0,2)\}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$X:=\{(x,y)|x^2+(y-1)^2=1\}\setminus \{(0,2)\}$ olmak üzere $f(x,y)=\frac{2x}{2-y}$ kuralı ile verilen $f:X\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun herhangi bir $(a,b)\in X$ noktasında sürekli olduğunu göstermek için $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall (x,y)\in X)(|x-a|+|y-b|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

Verilmiş bir $\epsilon>0$ karşılık $\delta>0$ sayısının nasıl seçilmesi gerektiğini anlamak için $$|f(x,y)-f(a,b)|$$ ifadesine bakalım. $$|f(x,y)-f(a,b)|$$ ifadesine bakmadan önce $$|x-a|+|y-b|<\delta\Rightarrow (|x-a|<\delta)(|y-b|<\delta)\ldots (*)$$ olduğunu not edelim.
  $$\begin{array}{rcl} |f(x,y)-f(a,b)| & = & \left|\frac{2x}{2-y}-\frac{2a}{2-b}\right| \\ \\ & = &\frac{\left|2x(2-b)-2a(2-y)\right|}{\left |2-y\right|\left |2-b \right |} \\ \\ & = &\frac{\left|4x-2xb-4a+2ay\right|}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right |} \\ \\ & = &\frac{\left|4x-4a-2xb{\color{red}{+2ab}}+2ay{\color{red}{-2ab}}\right|}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right |} \\ \\ & = & \frac{\left|4(x-a)-2b(x-a)+2a(y-b)\right|}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right |} \\ \\ & \leq & \frac{4|x-a|+2b|x-a|+2|a||y-b|}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right |} \\ \\ & \overset{(*)}{<} & \frac{4\delta +2b\delta+2|a|\delta}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right |} \\ \\ & = & \frac{\delta (4+2b+2|a|)}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right |} \ldots (1) \end{array}$$ elde edilir. Paydadaki $|2-y|$ ifadesinden kurtulmak için de $|y-b|<\delta$ koşulu altında $|2-y|$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulalım ki kesrin değeri büyüsün. Şimdi kendimize $\delta>0$ sayısını $\delta\leq \frac{2-b}{2}$ seçeceğimize söz verelim.

$|y-b|<\delta$ iken $y\in (b-\delta,b+\delta)$ olur. $y\in (b-\delta,b+\delta)$ iken $|2-y|$ ifadesinin alabileceği minimum değeri bulalım.

$\begin{array}{rcl} \min_{y\in (b-\delta,b+\delta)}|2-y| & = & 2-(b+\delta) \\ \\ & = & 2-b-\delta \\ \\ & \geq & 2-b-\frac{2-b}{2} \\ \\ & = & \frac{2-b}{2} \ldots (2) \end{array}$

Şimdi $(1)$ ve $(2)$ nolu eşitsizlikleri birlikte ele alalım.

  $$\begin{array}{rcl} |f(x,y)-f(a,b)| & = & \ldots \\ \\ & = & \frac{\delta (4+2b+2|a|)}{\left |2-y\right|\cdot \left |2-b \right|} \\ \\  & \leq & \frac{\delta (4+2b+2|a|)}{\frac{\left |2-b\right|}{2} \cdot \left |2-b \right|} \\ \\  & = & \frac{\delta (8+4b+4|a|)}{(2-b)^2} \end{array}$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \min \left\{\frac{2-b}{2},\frac{(2-b)^2}{8+4b+4|a|}\epsilon\right\}$ seçilirse (hem sözümüzü tutmuş oluruz hem de) her $(x,y)\in X$ için $$|x-a|+|y-b|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $(a,b)$ noktasında süreklidir. $(a,b)\in X$ keyfi olduğundan $f$ fonksiyonu $(X$'de$)$ süreklidir.