Question

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{F},$  $X$'de filtre olmak üzere $$\mathcal{F}, \text{ ultrafiltre}\Leftrightarrow \left(\forall A,B\in 2^X\right)[A\cup B\in\mathcal{F}\Rightarrow (A\in\mathcal{F}\vee B\in\mathcal{F})]$$ olduğunu gösteriniz.

 

Tanım: $X \neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{A}=\{\mathcal{F}| \mathcal{F}, \ X\text{'de filtre}\}$ olmak üzere
altküme olma ilişkisine göre $\mathcal{A}$ kümesinin bir maksimal elemanına bir ultrafiltre denir.

 

Biçimsel olarak

$$(X\neq\emptyset)(\mathcal{F}, \ X\text{'de filtre})(\mathcal{A}=\{\mathcal{F}|\mathcal{F}, \ X\text{'de filtre}\})$$ $$:\Rightarrow$$ $$\mathcal{F}, \text{ ultrafiltre}:\Leftrightarrow \mathcal{F}\in M(\mathcal{A})$$

 

$$\mathcal{F}, \text{ ultrafiltre}:\Leftrightarrow (\forall \mathcal{F}'\in\mathcal{A})(\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'\Rightarrow \mathcal{F}=\mathcal{F}')$$
şeklinde ifade edilir.

 

Not: $M(\mathcal{A}):\mathcal{A}$'nın maksimalleri

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $\mathcal{F},$ ultrafiltre ve $A\cup B\in\mathcal{F}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{F}':=\{A\cup B|A\in\mathcal{F} \vee B\in\mathcal{F}\}\Rightarrow (\mathcal{F}', X\text{'de filtre})(\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}') \\ \\ \mathcal{F}, \text{ ultrafiltre} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow \mathcal{F}=\mathcal{F}' \\ \\ A\cup B\in\mathcal{F}\end{array}\right\}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{F}'\Rightarrow A\in\mathcal{F}\vee B\in\mathcal{F}.$

$(\Leftarrow):$ $\mathcal{F},$ $X$'de filtre ve $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}'$ olsun. Amacımız $\mathcal{F}'=\mathcal{F}$ göstermek. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}'$ olduğundan $\mathcal{F}'\subseteq \mathcal{F}$ olduğunu göstermek yeterli olacaktır. $A\in\mathcal{F}'$ alalım. Bu durumda $A\in\mathcal{F}$ olduğunu gösterirsek ispat biter.
$\left.\begin{array}{r} \mathcal{F}, X\text{'de filtre}\Rightarrow X\in\mathcal{F} \\ \\ X=A^c\cup A \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\! \left. \begin{array}{rr} A^c\cup A\in\mathcal{F} \\ \\ \text{Hipotez} \end{array} \right\} \Rightarrow  \end{array}$

$\left.\begin{array}{r} \Rightarrow A^c\in\mathcal{F}\vee A\in\mathcal{F} \\ \\ \mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}' \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\! \left. \begin{array}{rr} A^c\in\mathcal{F}'\vee A\in\mathcal{F} \\ \\ A\in\mathcal{F}' \end{array} \right\}\Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (A^c\in\mathcal{F}'\vee A\in\mathcal{F})\wedge A\in\mathcal{F}'$

$\Rightarrow (A^c\in\mathcal{F}'\wedge A\in\mathcal{F}')  \vee (A\in\mathcal{F}\wedge A\in\mathcal{F}')$

$\Rightarrow A^c\cap A\in\mathcal{F}'\vee A\in\mathcal{F}$

$\Rightarrow \underset{0}{\underbrace{\emptyset\in\mathcal{F}'}}\vee A\in\mathcal{F}$

$\Rightarrow A\in\mathcal{F}.$