Question

$X \neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{A}=\{\mathcal{F}| \mathcal{F}, \ X\text{'de filtre}\}$ olmak üzere $$\beta =\{(\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2) | \mathcal{F}_1\subseteq \mathcal{F}_2\}\subseteq \mathcal{A}^2$$ bağıntısı bir tam kafes midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$(\mathcal{A},\beta)$ yapısının bir poset olduğu açık. Tam kafes olduğunu göstermek için de $\mathcal{A}$ ailesinin boştan farklı her altailesinin infimumunun ve supremumunun var olduğunu göstermeliyiz.

 $\emptyset\neq\mathfrak{F}\subseteq \mathcal{A}$ olsun.

$$\begin{array}{rcl}\inf \mathfrak{F} & = & \max \mathfrak{F}^a \\ \\ & = & \max\{\mathcal{F}'\in \mathcal{A}| \forall \mathcal{F}(\mathcal{F} \in \mathfrak{F} \Rightarrow \mathcal{F}' \subseteq  \mathcal{F})\} \\ \\  & = & \max\{\mathcal{F}'\in\mathcal{A}| \mathcal{F}'\subseteq \bigcap\mathfrak{F}\} \\ \\ & = & \bigcap\mathfrak{F} \end{array}$$

 Yani (keyfi sayıda filtrenin arakesiti yine bir filtre olduğundan) $\mathfrak{F}$ ailesinin infimumu, $\mathfrak{F}$ ailesinin arakesiti oluyor.

$$\begin{array}{rcl}\sup \mathfrak{F} & = & \min \mathfrak{F}^ü \\ \\ & = & \min\{\mathcal{F}'\in \mathcal{A}| \forall \mathcal{F}(\mathcal{F} \in \mathfrak{F} \Rightarrow \mathcal{F} \subseteq  \mathcal{F}')\} \\ \\  & = & \min\{\mathcal{F}'\in\mathcal{A}| \bigcup\mathfrak{F}\subseteq\mathcal{F}' \} \\ \\ & = & \mathcal{F}_{\bigcup\mathfrak{F}} \end{array}$$

 Yani (keyfi sayıda filtrenin birleşimi her zaman bir filtre olmadığından) $\mathfrak{F}$ ailesinin supremumu, $\mathfrak{F}$ ailesinin birleşiminin doğurduğu (ürettiği) filtre oluyor.

 

NOT: $X \neq \emptyset$ küme ve $\mathcal{A} \subseteq 2^X$ ailesi sonlu kesişim özelliğine sahip olmak üzere $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu filtre 
$$\mathcal{F}_{\mathcal{A}}:=\left\{F| F \supseteq G \in \mathcal{M}= \left\{\bigcap \mathcal{A}^* \big{|} (\mathcal{A}^* \subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|< \aleph_0)\right\}\right\}$$ şeklinde tanımlanır.