Question

$\left (\left (1+\frac1n\right)^n\right)_n$ dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.

Comments

Dizinin limiti varsa dizi yakinsaktir ve bu dizinin limiti $e$  dir.

---

Bu önemli soru için Murad Özkoç Bey'e teşekkürler. Konu ile ilgili birkaç söz söylemek isterim.

Dizinin limitinin $e$ Euler sabiti olduğunu bildiğimiz için mi ''dizi yakınsaktır'' diyeceğiz yoksa dizinin yakınsak olduğunu daha temel (aşağıdaki gibi) bir yolla kanıtladıktan sonra ''bu dizinin yakınsadığı sayıya özel bir gösterim (örneğin $e$ harfi gibi) vereceğiz?''

Bu dikkate ele alınması gereken bir problemdir. Başlangıçta $\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n$ dizisinin $n\to \infty$ için bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını bilmiyoruz. Aşağıdaki gibi bir ispatı verdikten sonra artık $e$ sayısını tanımlıyoruz. $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n = e$$   denir.

Bu $e$ sabitinin tanımıdır. Bazen karşılaşabiliyoruz, $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n = e$$ olduğunu ispatlayınız türü sorularla. Bu doğru bir soru sorma biçimi değildir. Öyle bir soruya, ''$e$ nedir?'' karşı sorusunu sorma hakkımız olur. Artık, bu karşı soruya da $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n$$ dizisinin limitidir cevabı verilemez herhalde. Euclid'in deyimiyle reductio ad absurdum durumu olurdu.

---

Ben de size $e$'yi soyle tanimladigimi soylerdim

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

---

Taylor serisine gelene kadar $e$ yi kaç defa kullanıyoruz. Bunun tarihsel bir gelişim sırası yok mudur? BURADA $e$ nin Tanımı ile ilgili bir kaynak kitaptan ilgili bölümü paylaştım. İncelenebilir.

Answer 1

Artan (azalan) ve üstten (alttan) sınırlı bir dizi Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca yakınsak olduğundan genel terimi $$e_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ olan $$(e_n)_n$$ dizisinin artan (azalan) ve üstten (alttan) sınırlı olduğunu gösterirsek yakınsak olduğunu göstermiş oluruz.

Artanlığını göstermek için Geometrik Ortalama $(GO)$ ile Aritmetik Ortalama $(AO)$ arasındaki ilişkiyi kullanabiliriz. Her $n\in\mathbb{N}$ için

$$\sqrt[n+1]{\left(1+\frac1n\right)^{n}}=\sqrt[n+1]{1\cdot\left(1+\frac1n\right)^{n}}\leq \frac{1+ \overset{n \text{ tane}}{\overbrace{\left(1+\frac1n\right)+\left(1+\frac1n\right)+\cdots +\left(1+\frac1n\right)}}}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$e_n=\left(1+\frac1n\right)^{n}\leq \left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}=e_{n+1}$$ olduğundan $$(e_n)_n$$ dizisi artandır.

Şimdi de dizinin üstten sınırlı olduğunu gösterelim. Üstten sınırlı olduğunu göstermek için de Binom Teoremi’nden faydalanacağız.  

$e_n=\left(1+\frac1n\right)^{n}=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}1^{n-k}\left(\frac1n\right)^k= \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\frac1{n^k}$

$=\dbinom{n}{0}\frac1{n^0}+\dbinom{n}{1}\frac1{n^1}+\dbinom{n}{2}\frac1{n^2}+\cdots + \dbinom{n}{n}\frac1{n^n}$

$=1+1+\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2}+\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+\frac{1}{4!}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n^4}+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (n-(n-1))}{n^n}$

$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\frac{1}{4!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})+\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})\cdots (1-\frac{n-(n-1)}{n})$

$\leq 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}$

$\leq 1+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$

$\leq 1+1+\underset{1-\frac1{2^{n-1}}}{\underbrace{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3$

olduğundan dizi üstten sınırlıdır. Dolayısıyla dizi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca $$(e_n)_n$$  dizisi yakınsaktır.

Comments

$e^{n+1}$ in yerinde $e_{n+1}$ olmalı sanıyorum.

---

Evet hocam haklısınız. Düzelttim. Teşekkür ederim. Bilgisayarımın adaptörü bozuldu. Açamıyorum. En kısa zamanda üstten sınırlı olduğunun kanıtını da ekleyeceğim.