Question

$a,b\geq 0$ olmak üzere $$\sqrt[n+1]{a\cdot b^n}\leq \frac{a+nb}{n+1}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$a=0$ veya $b=0$ olursa eşitsizliğin sağlanacağı açıktır. O halde $a,b>0$ alabiliriz. Buna göre $n$ tane $b$ ve $1$ tane $a$ sayısından oluşan $n+1$ tane sayı için aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğini uygularsak

$$\sqrt[n+1]{a\cdot b^n} \leq \dfrac{a+bn}{n+1}$$

elde edilir.