Her n∈N için 0<xn<2 olduğunu gösterelim.
Soruda 0<x1<2 verildiğinden n=1 için 0<x1<2 eşitsizliği doğru.
Şimdi belirli bir n için 0<xn<2 olduğunu varsayıp 0<xn+1<2 olduğunu gösterelim.
0<xn<2⇒7<7+xn<9
⇒19<17+xn<17
⇒−367<−367+xn<−369=−4
⇒6−367<6−367+xn<6−4=2
⇒0<67<6+6xn7+xn⏟xn+1<2
⇒0<xn+1<2
Dolayısıyla her n∈N için 0<xn<2 elde edilir. Yani dizi hem alttan hem de üstten sınırlıdır.
Her n∈N için xn<xn+1 olduğunu gösterelim.
Her n∈N için 0<xn<2 olduğunu göstermiştik.
O halde her n∈N için
0<xn<2⇒−3<xn<2⇒(−3<xn∧xn<2)
⇒(0<xn+3∧xn−2<0)
⇒(xn+3)(xn−2)<0
⇒x2n+xn−6<0
⇒x2n+7xn<6+6xn
⇒xn<6+6xn7+xn=xn+1
elde edilir. Yani (xn)n dizisi artandır.
(xn) dizisi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi gereğince (xn) dizisi yakınsaktır. Dolayısıyla öyle bir L gerçel sayısı vardır ki lim olur. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak, (x_{n+1})_n<(x_n)_n ve \lim\limits_{n\to\infty} x_n=L olduğundan \lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=L olur.
x_{n+1}=\frac{6+6x_n}{7+x_n}\Rightarrow L=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{6+6x_n}{7+x_n}=\ldots =\frac{6+6L}{7+L}
\Rightarrow L^2+L-6=0
\Rightarrow L=-3 \vee L=2
Dizinin bütün terimleri pozitif olduğundan L=-3 olamaz.
O halde \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=2 olur.