Question

Cauchy dizisi tanımından hareketle $\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}\right)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Comments

bu dizi bilindigi uzere $e$ ye yakinsar. Gene unlu bir teoreme gore her yakinsak dizi bir cauchy dizisidir desem olmuyor yani ?

---

Olur ama ben tanımdan hareketle Cauchy dizisi olduğunun gösterilmesini istedim :-)

Answer 1

$(x_n)=\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}\right)_n$  olmak üzere  $n\gt m$ ve  $n=m+k$ olsun. $$|x_n-x_m|=\left|\dfrac{1}{(m+1)!}+...+\dfrac{1}{(m+k)!}\right|$$ olur. $$\dfrac{1}{(m+1)!}\lt \dfrac{1}{m}$$ $$\dfrac{1}{(m+2)!}\lt \dfrac{1}{m^2}$$  eşitsizliklerinden $$\dfrac{1}{(m+k)!}\lt \dfrac{1}{m^k}$$ olduğu sonucuna ulaşabiliriz. Dolayısıyla verilmiş bir $\epsilon\gt 0$ için $N$ göstergeci $N\lt \dfrac{1}{\epsilon}$ koşulunu sağlayacak şekilde seçilirse her $m\gt N$ için
$$\begin{array}{rcl} |x_n-x_m| & = & \left|\dfrac{1}{(m+1)!}+...+\dfrac{1}{(m+k)!}\right| \\ \\ & \lt & \dfrac{1}{m}+...+\dfrac{1}{m^k} \\ \\ & = & \dfrac{1}{m-1}\left(1-\dfrac{1}{m^k}\right) \\ \\ & \lt &  \dfrac{1}{m-1} \\ \\ & \le & \dfrac{1}{N} \\ \\ & \lt & \epsilon\end{array}$$ koşulu sağlanır yani $$(\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(n,m\gt N \to |x_n-x_m|\lt \epsilon)$$ önermesi doğru olur. Bu da $(x_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir.