İlk olarak şunu paylaşalım. Her n∈N için xn≥2 olduğunu görmek zor olmasa gerek.
|xn+1−xn|=|2+1xn−2−1xn−1|=|xn−xn−1xn⋅xn−1|=|xn−xn−1||xn|⋅|xn−1|≤12⋅12⋅|xn−xn−1|=14⋅|xn−xn−1|
⇒|xn+1−xn|≤(14)n−1⋅|x2−x1|=(14)n−1⋅(3−2)=(14)n−1 bulunur. Buradan da
|xm−xn|=|xm−xm−1+xm+1−xm−2+xm+2−…+xn+1−xn|
≤|xm−xm−1|+|xm+1−xm−2|+…+|xn+1−xn|
≤(14)m−1+(14)m−2+…+(14)n
=(14)n(1+14+…+(14)m−n−1)
=(14)n⋅1−(14)m−n1−14≤43⋅(14)nn→∞⟶0 elde edilir. Yani (xn)n dizisi bir Cauchy dizisidir ve R'deki her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan (Nedenine buradan ulaşabilirsiniz) dizi yakınsaktır. Dizi yakınsak olduğundan limxn=L olacak şekilde en az bir L∈R vardır. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak olduğundan limxn+1=L olur. O halde L=limxn+1=lim(2+1xn)=lim2+lim1xn=lim2+1limxn=2+1L
⇒
L=1∓√2 bulunur. Dizinin bütün terimleri 2'den büyük eşit olduğundan L=1−√2 olamaz. O halde L=1+√2 olmalıdır.