Question

$(X,d)$ metrik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$A=\overline{A}\Leftrightarrow \left(\forall \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to x\Rightarrow x\in A).$$

Comments

Bu linkteki bilgi işe yarayabilir.

---

$A=\overline{A}\Leftrightarrow \left(\forall \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to x\Rightarrow x\in A).$

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $A=\overline{A}, \ \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}$  ve  $x_n\to x$ olsun. $x\notin A$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{r} x\notin A \\ \\ A=\overline{A} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} x\notin \overline{A}\overset{?}{\Rightarrow}(\exists \epsilon_0>0)(\forall y\in A)(d(x,y)\geq \epsilon_0) \\ \\ \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\Rightarrow \{x_n|n\in\mathbb{N}\}\subseteq A \end{array} \right\} \Rightarrow  \end{array}$

$\Rightarrow (\exists \epsilon_0>0)(\forall n\in \mathbb{N})(d(x,x_n)\geq \epsilon_0)\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} x_n\to x \\ \\ \epsilon_0>0 \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow d(x_n,x)<\epsilon_0)\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow$ Çelişki.

Not: "?" işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine buradaki linkten ulaşılabilir.

$(\Leftarrow):$ $x_n\to x$ koşulunu sağlayan her $\langle x_n\rangle\in A^\mathbb{N}$ için $x\in A$  olsun. $x\in\overline{A}$  alalım.

$x\in\overline{A}\Rightarrow (\forall \epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\neq\emptyset)$

$\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})\left(B\left(x,\frac{1}{n}\right)\cap A\neq\emptyset\right)$

$\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N})(\exists x_n\in A)\left(x_n\in B\left(x,\frac{1}{n}\right)\right)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow \left(\langle x_n\rangle \in A^{\mathbb{N}}\right)\left(x_n\to x\right) \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow x\in A$

Dolayısıyla  $$\overline{A}\subseteq A\ldots (1)$$ olur. Öte yandan $$A\subseteq \overline{A} \ldots (2)$$ kapsaması daima geçerlidir. Buradan da $$(1),(2)\Rightarrow \overline{A}=A$$ elde edilir.

Answer 2

Gerek kısmı için doğrudan kanıtı verelim: $A=\overline{A}, \ \langle x_n\rangle \in A^{\mathbb{N}}$  ve  $x_n\to x$ olsun.

$x_n\to x\Rightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow d(x_n,x)<\epsilon)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow x_n\in B(x,\epsilon)) \\  \\ \langle x_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\Rightarrow \{x_n|n\in\mathbb{N}\}\subseteq A \end{array}\right\}\Rightarrow (\forall \epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\neq \emptyset)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow x\in \overline{A} \\  \\ \overline{A}=A \end{array}\right\}\Rightarrow x\in A.$