Question

$(X,d)$ metrik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere

$$x\in \overline{A}\Leftrightarrow \left(\exists \langle y_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\right)(y_n\to x)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $x\in \overline{A}$ olsun.

$$\begin{array}{rcl} x\in \overline{A} & \overset{?}{\Rightarrow} & (\forall \epsilon>0)(\exists y\in A)(d(x,y)<\epsilon) \\ \\ &  \Rightarrow & (\forall n\in\mathbb{N})(\exists y_n\in A)(d(x,y_n)<\frac1n) \\ \\ & \Rightarrow & \left(\exists \langle y_n\rangle\in A^{\mathbb{N}}\right)(y_n\to x).\end{array}$$

Soru işaretinin gerekçesine buradan ulaşabilirsiniz.

$(\Leftarrow):$ $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N\in\mathbb{N})(n\geq N\Rightarrow d(y_n,x)<\epsilon)\Rightarrow (\exists y\in A)(d(x,y)<\epsilon).$