$(X,d)$ metrik uzay olmak üzere $$(\forall x\in X)(\forall r>0)\left(\overline{B(x,r)}=\overset{\sim}{B}(x,r)\right)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(\forall \epsilon>0)(\forall x,y\in X)[x\neq y\Rightarrow (\exists z\in X)(d(x,z)<d(x,y))(d(z,y)<\epsilon)]$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,d)$ metrik uzay olmak üzere

$$(\forall x\in X)(\forall r>0)\Rightarrow \overline{B(x,r)}=\overset{\sim}{B}(x,r)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon>0)(\forall x,y\in X)[x\neq y\Rightarrow (\exists z\in X)(d(x,z)<d(x,y))(d(z,y)<\epsilon)]$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $\overset{\sim}{B}(x,r):=\{y|d(x,y)\leq r\}$

Answer 1

$(\Rightarrow)$ $(\forall x\in X)(\forall r > 0)$ için $\overline{B(x,r)}=\tilde{B}(x,r)$ olsun. 

$x \neq y$ için $r=d(x,y)>0$ alalım. Böylece $y \in \tilde{B}(x,r)$ olur ve varsayımdan $y\in \overline{B(x,r)}$.

$y \in \overline{B(x,r)}  \Rightarrow  (\forall \varepsilon >0)(B(y,\varepsilon) \cap B(x,r) \neq \emptyset) \Rightarrow  (\forall \varepsilon >0)(\exists z \in B(y,\varepsilon) \cap B(x,r) )$

$\Rightarrow  (\forall \varepsilon >0)(\exists z \in X)(z\in B(y,\varepsilon) \wedge z \in B(x,r))$ $\Rightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists z \in X)(d(z,y)< \varepsilon \wedge d(x,z) <r=d(x,y))$

Böylece $(\forall \varepsilon >0)(\forall x,y \in X)[x\neq y \Rightarrow (\exists z \in X)(d(x,z)<d(x,y))(d(z,y)<\varepsilon)]$ önermesinin doğruluğu gösterilmiş olur.

$(\Leftarrow)$ Varsayalım $(\forall \varepsilon >0)(\forall x,y \in X)[x\neq y \Rightarrow (\exists z \in X)(d(x,z)<d(x,y))(d(z,y)<\varepsilon)]$ önermesi doğru olsun.

 $(\forall x \in X )(r>0) \Rightarrow (\overline{B(x,r)} \subseteq \tilde{B}(x,r))$ her zaman doğru. $y\in \tilde{B}(x,r)$ alalım. O zaman $d(x,y)\leq r$ . Varsayımdan $(\forall \varepsilon > 0)(\exists z\in X)(d(x,z)<d(x,y))(d(z,y)< \varepsilon)$.

 $\Rightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists z\in X)(d(x,z)<r)(d(z,y)< \varepsilon)$ $\Rightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists z\in X)(z \in B(x,r))(z\in B(y, \varepsilon))$  $\Rightarrow (\forall \varepsilon >0)(B(x,r)\cap B(y, \varepsilon) \neq \emptyset)$ $\Rightarrow y \in \overline{B(x,r)} \Rightarrow \tilde{B}(x,r) \subseteq \overline{B(x,r)}$.

Sonuç olarak $\overline{B(x,r)}=\tilde{B}(x,r)$.

Comments

Güzel olmuş. Tebrikler. Formalizasyonda bazı sıkıntılar var. Bir ara düzenlerim.