(x,y)≠(x′,y′)⇒(x+y≠x′+y′∨x+y=x′+y′)
I. Durum: x+y≠x′+y′ olsun. Bu durumda x+y<x′+y′ olduğunu farz edebiliriz.
f(x,y)=(x+y−2)(x+y−1)2+x
≤(x+y−2)(x+y−1)2+x+y−1
=(x+y)(x+y−1)2
≤(x′+y′−1)(x′+y′−2)2
<(x′+y′−1)(x′+y′−2)2+x′=f(x′,y′)⇒f(x,y)<f(x′,y′)⇒f(x,y)≠f(x′,y′).
II. Durum: x+y=x′+y′ olsun.
(x,y)≠(x′,y′)x+y=x′+y′}⇒x≠x′. Bu durumda x<x′ farz edebiliriz.
x<x′⇒f(x,y)−f(x′,y′)=(x+y−2)(x+y−1)2+x−(x′+y′−2)(x′+y′−1)2−x′
⇒f(x,y)−f(x′,y′)(x+y=x′+y′)=(x′+y′−2)(x′+y′−1)2+x−(x′+y′−2)(x′+y′−1)2−x′
⇒f(x,y)−f(x′,y′)=x−x′<0⇒f(x,y)≠f(x′,y′).
O halde f fonksiyonu birebir bir fonksiyondur.