Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar$; \,\ \mathcal{B}, \tau_1$ için baz ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere $$f, \,\ (\tau_1\mbox{ - }\tau_2) \text{ açık}\Leftrightarrow (\forall B\in\mathcal{B})(f[B]\in\tau_2).$$

Answer 1

$(\Rightarrow): f,(\tau_1-\tau_2) \ açık  \ ve \ B\in\mathcal{B} \ olsun.$

$\left.\begin{array}{r} B\in\mathcal{B} \\ \mathcal{B}, \tau_1 \ için \ baz \end{array}\right\}\Rightarrow\left.\begin{array}{rr} B\in\mathcal{B}\subseteq \tau_1 \\ f,(\tau_1-\tau_2) \ açık \end{array}\right\}\Rightarrow f[B]\in\tau_2.$

$(\Leftarrow): U\in\tau_1 \ olsun.$

$\left.\begin{array}{rr} U\in\tau_1 \\ \mathcal{B}, \tau_1 \ için \ baz \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\subseteq\tau_1) (\bigcup\mathcal{A}=U) \Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left.\begin{array}{c}  f[\bigcup\mathcal{A}]= \bigcup_{A\in\mathcal{A}} f[A]=f[U] \\ \text{Hipotez} \\(Y,\tau_2) \text{ topolojik uzay}\Rightarrow \tau_2,\text{Y de topoloji} \\   \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow f[U]\in\tau_2.$

Comments

Yeter kısmını kanıtlarken $X$ uzayından bir açık alarak başlamalısın.

---

Düzelttim hocam.

---

Topolojide olan bir kümenin o topolojinin bazında da olması gerekmez. Biraz daha dikkat et.

---

Evet hocam çok haklısınız gerçekten kendimide ikna edememiştim onu yazarken ama yoğunlaşmadan yazınca oldu gibi gördüm şimdi düzelttim sanırım bunda sıkıntı yok.