Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar, $f\in Y^X$ ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olsun. $$``(\mathcal{A}, \ \tau_1\text{ için altbaz})(\forall A\in\mathcal{A})(f[A]\in\tau_2)\Rightarrow f, \text{ açık}"$$ önermesi her zaman doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$X=Y=\mathbb{R},\ \tau_1=\tau_2=\mathcal{U}$ (alışılmış=standart topoloji) olsun.

$\mathcal{A}_1=\{(-\infty,a):a\in\mathbb{R}\},\quad\mathcal{A}_2=\{(a,+\infty):a\in\mathbb{R}\},\quad \mathcal{A}=\mathcal{A}_1\bigcup\mathcal{A}_2$ olsun. $\mathcal{A}$ nın  $\mathcal{U}$ için bir altbaz olduğunu göstermek zor değil.

$f(x)=\begin{cases}|x|&x\neq0\\1&x=0\end{cases}$ olsun.

$f[(-\infty,a)]=\begin{cases}(|a|,+\infty) &a\leq0\textrm{ ise}\\(0,+\infty) &a\geq0\textrm{ ise}\end{cases}$ ve $f[(a,+\infty)]=\begin{cases}(0,+\infty) &a\leq0\textrm{ ise}\\(a,+\infty) &a\geq0\textrm{ ise}\end{cases}$ olur.

Dolayısıyla, $\forall A\in\mathcal{A}$ için $f[A]\in \mathcal{U}$ sağlanır.

Ama, $U=(-1,+1)\in\mathcal{U}$ olmasına karşın, $f[U]=(0,1]\notin\mathcal{U}$ olduğundan, $f$ bir açık dönüşüm değildir.

Sorunun çözümündeki anahtar adım, genel olarak $f[A\cap B]\neq f[A]\cap f[B]$ olmasıdır.

Bu fonksiyon için, (her ikisi de $\mathcal{A}$ da olan)  $A=(-\infty,+1),\ B=(-1,+\infty)$ kümeleri için eşitsizlik sağlanıyor ve ayrıca $f[A\cap B]\notin\mathcal{U}$ oluyor. $\mathcal{A}$ da başka böyle kümeler de var.