$1.$ ve $2.$ izdüşüm fonksiyonlarının açık olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere $$\pi_1(x,y)=x$$ kuralı ile verilen $$\pi_1:X\times Y\to X$$ fonksiyonunun $(1.$ izdüşüm fonksiyonu$)$ $(\tau_1\star\tau_2 \mbox{ - }\tau_1)$ açık ve benzer şekilde  $$\pi_2(x,y)=y$$ kuralı ile verilen  $$\pi_2:X\times Y\to Y$$ fonksiyonunun $(2.$ izdüşüm fonksiyonu$)$ $(\tau_1\star\tau_2 \mbox{ - }\tau_2)$ açık olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$A\in\tau_1\star\tau_2\Rightarrow (\exists\mathcal{A}_1\subseteq \tau_1)(\exists\mathcal{A}_2\subseteq \tau_2)(A=\cup_{(A_1\in\mathcal{A}_1)(A_2\in\mathcal{A}_2)}(A_1\times A_2))$

$\hspace{2.3cm}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}_1\subseteq \tau_1)(\exists\mathcal{A}_2\subseteq \tau_2)\left(\pi_1[A]=\pi_1\left[\cup_{(A_1\in\mathcal{A}_1)(A_2\in\mathcal{A}_2)}(A_1\times A_2)\right]\right)$

$\hspace{2.3cm}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}_1\subseteq \tau_1)(\exists\mathcal{A}_2\subseteq \tau_2)\left(\pi_1[A]=\cup_{(A_1\in\mathcal{A}_1)(A_2\in\mathcal{A}_2)}\pi_1\left[A_1\times A_2\right]=\cup_{A_1\in\mathcal{A}_1}A_1=\cup\mathcal{A}_1\in\tau_1\right)\Big{/}\pi_1, \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ açık}$

Benzer şekilde $2.$ izdüşüm fonksiyonunun da $(\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2)$ açık olduğu gösterilebilir.

Answer 2

İkinci bir ispat olarak "bir fonksiyonun açık olması için gerek ve yeter koşul bazsal açıkların ilgili fonksiyon altındaki görüntüsünün açık olmasıdır" teoremini kullanarak yapabiliriz.

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau_1) \text{ topolojik uzay}\\ (Y,\tau_2) \text{ topolojik uzay} \end{array}\right\}\Rightarrow \mathcal{B}=\{A\times B|(A\in\tau_1)(B\in\tau_2)\}, \,\ \tau_1\star\tau_2 \text{ için baz}$

$\left.\begin{array}{rr} U\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists A\in\tau_1)(\exists B\in\tau_2)(U=A\times B) \\ \pi_1:X\times Y\to X, \,\ \pi_1(x,y)=x\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow \pi_1[U]=\pi_1[A\times B]=\{\pi_1(x,y)|(x,y)\in A\times B\}=\{x|(x\in A)(y\in B)\}=A\in\tau_1\Big{/}\pi_1, \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ açık}.$

Benzer şekilde $2.$ izdüşüm fonksiyonunun da $(\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2)$ açık olduğu gösterilebilir.