Question

$$f(x)=\sin x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to [-1,1]$$ fonksiyonunun sağ tersi var mıdır? Varsa $5$ tane sağ tersini bulunuz.

Answer 1

İspatı buradaki linkte mevcut olan şu teoremi hatırlayalım.

Teorem: Bir fonksiyonun sağ tersinin olması için gerek ve yeter koşul o fonksiyonun örten olmasıdır.

Bu teoreme dayanarak şunu söyleyebiliriz.

$$f(x)=\sin x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to [-1,1]$$ fonksiyonu örten olduğundan $f$ fonksiyonunun sağ tersi vardır.

$$g(x)=\arcsin x$$ kuralı ile verilen $$g:[-1,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım.

$$\mathcal{D}_{f\circ g}=\mathcal{D}_{I_{[-1,1]}}$$ ve

$$\mathcal{T}_{f\circ g}=\mathcal{T}_{I_{[-1,1]}}$$ $($yani $f\circ g$ fonksiyonu ile $I_{[-1,1]}$ fonksiyonunun tanım ve hedef kümeleri aynı$)$ olduğundan 

$$f\circ g=I_{[-1,1]}$$

önermesi doğru ise $g$ fonksiyonu $f$ fonksiyonunun bir sağ tersi olur. Bunun için 

$$x\in [-1,1]\Rightarrow (f\circ g)(x)=I_{[-1,1]}(x)$$ olduğunu göstermemiz gerekir.

$$x\in [-1,1]\Rightarrow (f\circ g)(x)=f(g(x))=\sin (\arcsin x)\overset{?}{=}x=I_{[-1,1]}(x)$$ olduğundan 

$$f\circ g=I_{[-1,1]}$$ olur. O halde $g$ fonksiyonu $f$ fonksiyonunun bir sağ tersidir.

Tüm bu yukarıda yapılanları göz önünde bulundurduğumuzda her $n\in\mathbb{N}$ için 

$$g_n(x)=(2n+1)\pi-\arcsin x$$ kuralı ile verilen $$g_n:[-1,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $f$ fonksiyonunun bir sağ tersi olacaktır. Sonuç olarak $f$ fonksiyonunun değil $5$ tane sonsuz çoklukta sağ tersini bulmuş oluruz.