Question

Bir metrik uzaydaki açık yuvarların (o uzayda) bir topoloji için bir baz oluşturduğunu gösteriniz.

Answer 1

Teorem: $(X,d)$ metrik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}=\{B(a,\epsilon)|a\in X, \epsilon >0\}$$

ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır.

İspat: $\mathcal{B}$ ailesinin $X$ kümesi üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu göstermek için

$$b_1) \,\,\ \cup \mathcal{B}=X$$

ve 

$$b_2) \,\,\ A,B\in \mathcal{B}\Rightarrow (\exists \mathcal{A}\subset\mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A})$$

önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$b_1)$

$$(a\in X)(\epsilon >0)\Rightarrow \{a\}\subset B(a,\epsilon)\subset X$$

$$\Rightarrow$$

$$X=\cup_{a\in X} \{a\}\subset \cup \mathcal{B}=\cup_{(a\in X)(\epsilon>0)}B(a,\epsilon) \subset X$$

$$\Rightarrow$$

$$X=\cup \mathcal{B}.$$

$b_2) \,\,\ A,B\in \mathcal{B}$ olsun.

$$A,B\in \mathcal{B}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists a,b\in X)(\exists\epsilon_1,\epsilon_2>0)(A=B(a,\epsilon_1))(B=B(b,\epsilon_2))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists a,b\in X)(\exists\epsilon_1,\epsilon_2>0)(A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2))$$

I. durum: $A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)=\emptyset$ olsun.

$$A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)=\emptyset\Rightarrow (\mathcal{A}:=\emptyset\subset\mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A})$$

II. durum: $A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)\neq \emptyset$ olsun.

$$A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)\neq \emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists c\in X)(c\in B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2) )$$

$$\Rightarrow$$

$$(c\in B(a,\epsilon_1))(c\in B(b,\epsilon_2) )$$

$$\Rightarrow$$

$$(d(a,c)<\epsilon_1)(d(b,c)<\epsilon_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\epsilon_1-d(a,c)>0)(\epsilon_2-d(b,c)>0)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\epsilon_c :=\min \{\epsilon_1-d(a,c),\epsilon_2-d(b,c)\})(B(c,\epsilon_c)\subset B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\mathcal{A}:=\{B(c,\epsilon_c)|c\in B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)\Rightarrow (\exists\epsilon_c>0)(B(c,\epsilon_c)\subseteq B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)) \}\subset \mathcal{B})(A\cap B=B(a,\epsilon_1)\cap B(b,\epsilon_2)=\cup\mathcal{A}).$$