Question

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Kanıt:

$-1<x\le 1$ koşulu ile $ \ln(1+x)$ fonksiyonunun  maclaurin seri açılımını inceleyelim;

$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \dots $

Seri açılımını biraz düzenlersek

$ -\ln(1+x) = -x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} + \frac{x^6}{6} - \dots $

$ -\ln(1+1) = -\ln(2) = (-1) + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \dots $

$-\ln(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \text{ Sonucunu elde ederiz.}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = \lim_{n \to \infty} -\ln(2) = -\ln(2)$

$\text{olacağından } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \text{ serisi yakınsaktır.} $

Comments

Bu çözüm biraz eksik olmuş. $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}n$ eşitliğinin, $|x|<1$ için doğru olduğunu göstermek zor değil ama, $x=1$ için niçin doğru olduğunu açıklamak gerekir.
Bu gibi eşitlikleri gösermek için, genellikle, Abel in bir teoremini kullanırız.

---

Galiba bu teoremden bahsediyorsunuz Doğan hocam

Abel Teoremi:

 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n = A$ ...(1) toplamı $A$ olan yakınsak bir seri olsun. $f(z)$ fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım:

$ \begin{equation} f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n, \quad |z| < 1 \end{equation} $ ...(2)

Bu durumda, $x$ reel bir sayı olmak üzere;

$\begin{equation} \lim_{x \to 1^-} f(x) = A \end{equation} $olur.

Serinin yakınsak olması koşulu, (2)'deki serinin yakınsaklık yarıçapının en az 1 olduğu anlamına gelir, dolayısıyla tanım (2) anlamlıdır.