Question

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Iraksaklık savı için: Her pozitif $x$ gerçel ve $n$ tam sayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ sağlandığından  $x=n$ için $$e^n\ge \dfrac{n^n}{n!} \implies \dfrac{n! \cdot e^n}{n^n}\ge 1$$ eşitsizliği sağlanır. 

Answer 2

$n>>1$ icin $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{ n}{e}\right)^n$, Stirling yaklasimi kullanilirsa.

 

$\lim_{ n\to\infty} \dfrac{n!e^n}{n^n}=\lim_{ n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{ n}{e}\right)^ne^n}{n^n}=\lim_{ n\to\infty} \sqrt{2\pi n}\neq0$ oldugundan, verilen seri iraksaktir.

 

Oran testinin islevsiz oldugu gorulebilir.

$\lim_{ n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n }=\lim_{ n\to\infty}\dfrac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\dfrac{n^n}{n!e^n}=\lim_{ n\to\infty}\dfrac{e}{(n+1)^n}\dfrac{n^n}{1}=\lim_{ n\to\infty}e\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{ n\to\infty}e\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^n=e\dfrac1e=1$ oldugundan,  Oran testi ise yaramaz..