Question

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }\dfrac {1} {n}\sin \left( \dfrac {\pi } {n}\right)$ serisi yakınsak mıdır ıraksak mıdır ?

Comments

limitini 0 buluyorum bunun yanlış mıyım acaba ? cevap ıraksakmış

---

integral testi is gorebilir.

---

Nasil gorebilir? Yani ne ile integral alacagiz?

---

haklısınız düzenli azalan olmadıgından ıntegral olmaz, kök testi oran testı de olmaz ancak sizin yaptıgınız gıbı karşılaştırma testıyle yapabılırız, şuanda bılgılerım tartışacak kadar zayıf ancak bir light eyvallah çakıp kaçabilirim.

---

hayır itraz ediyorum integral testini bal gibi uygulayabiliriz sanırım;

---

Yok, ben testi uygulayamayiz demedim zaten. Uygularsak, nasil uygulariz anlamindaydi...

---

uyguladım ama bakalım ...

Answer 1

Limitinin sifir olmasi yakinsak oldugunu vermez. Sadece iraksaklik testi ile iraksak diyemeyecegimizi soyler.

Fakat bu seri yakinsak.

Ispat:  Seri pozitif ve $x>0$ icin $\sin x<x$ oldugundan $$0 \le \frac1n\sin(\pi/n) \le \frac1n\frac{\pi}n=\pi\frac1{n^2}$$ olur. Bu da Karsilastirma testi ile serinin yakinsak oldugunu verir.

Comments

açıklama için teşekkürler hocam.

---

Benzeri olarak da bu videoya bakabilirsin.

---

Ayrica wolfram da yakinsak diyor. Ara ara kontrol edebilirsin bu tarz sitelerden.

---

$\sum \dfrac {1} {n}\leq \sum \sin \left( \dfrac {\pi } {n}\right)$  bu eşitsizlik doğru olmuyor o zaman ama yer değişmiş hali doğru değil mi ? sorduklarım bana bu eşitsizliği söyledi.

---

1) $x>0$ icin $\sin x<x$ oldugundan $sin(\pi/n)< \pi/n$ olur.

2) Bunu diyen kisinin sebebi nedir?

3) Diyelim ki dogru, bu toplamin buyuk olmasi bize neyi veriyor?

---

değer verdiğimde eşitsizliğe uymadı. sebebi de şu: $1/n$ serisi ıraksak oluğu için diğeri de ıraksak olur.

---

Digeri bizim serimiz degil. Yazarken mi hatali yazdin acaba. $\sum1/n$ ve $\sum \sin(\pi/n)$ olarak. 

Eger $\sum1/n$ ve $\sum \frac1n\sin(\pi/n)$ olarak ise zaten yanlis olur, sag tarafta $\sin$'li ifadeler $n=2$'den sonra $1$'den kucuk.

---

soru aynen yazdığım gibi. onlar ikisini ayırıp yapmışlar sanırım. birde harmonik seri olduğu için ıraksak diyen olmuştu ?

---

Bence bu seri, sıkıştırma teoremi yardımıyla ıraksak olduğunu yazabilirim diye düşünüyorum

Answer 2

fonksiyon grafiği budur, düzenli azaldıgından sürekli oldugundan ve pozitiv oldugundan integral testine tabi tutabiliriz,

$\displaystyle\int \dfrac{sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx$

$u=\dfrac{\pi}{x}$

$-dx=\dfrac{\pi}{x^2}du=\dfrac{u}{x}du$  olur yerlerine koyarsak  

$-\displaystyle\int \dfrac{sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx=-\displaystyle\int \dfrac{sinu}{u}du$ olur buradan sonrası $-Si(x)$  fonksiyonunun işi,


peki,

$\boxed{\boxed{-\displaystyle\int \dfrac{sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx=-\displaystyle\int \dfrac{sinu}{u}du}}$

integrali yakınsak mıdır ıraksak mıdır? tabiki de yakınsaktır,

Çünki

$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{sinu}{u}du=\dfrac{\pi}{2}$  olduğunu biliyoruz,


Sınırları "$u$" ya göre revize edip tekrar yazalım,

$\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\pi}{x}=u=0$  olur , dolayısıyla üst sınır $0$


$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\pi}{x}=u=\infty$    dolayısıyla alt sınır $\infty$ peki sınırları değiştirirsek integral işaret değiştiriyordu o zaman ,

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx=-\displaystyle\int_\infty^0 \dfrac{\sin u}{u}du=\displaystyle\int^\infty_0 \dfrac{\sin u}{u}du}}$    olur

Ve 

$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{sinu}{u}du=\dfrac{\pi}{2}$  bu referanstan dolayı , serimiz ıraksakmıştır.

Comments

Son biliyoruz denilen integralin $\pi/2$ oldugunu nereden biliyoruz.

---

internette yazdım çıktı :) hem sitede de yapmışlardı, @Enis yapmıştı sanırım

---

bir de soruda 1den başlanmış orayı nasıl törpüleyecegiz?

---

http://matkafasi.com/117/%24-displaystyle-int_0-infty-frac-text-sin-x-x-dx-%24

---

O cevaplar kompleks analiz ile. Fakat yakinsakligini kismi integral ile gosterebiliriz. $\cos(x)/x^2$ integrali yakinsar falan.

Hic sinirlari yazmamissin. Pek hangi sinirlara gidecegimizi anlamadim. Fakat daha genis aralikta yakinsak olan zaten yakinsak olur, torpulersin yani.

---

aynen u için değişen sınırları yazmadım ,bilerek yazmadım kim uyanıcak diye :) tabiki de siz farkettiniz :) şüphem yoktu .

---

düzeltildi.         

Answer 3

$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{\pi }{n^{2}}$ yakınsaktır. Limit karşılaştırma testinin sonucu 1 geleceğinden bu seriye yakınsak diyebiliriz.