Question

$\left(n+\frac{(-1)^n}{n}\right)_n$ dizisinin Cauchy dizisi olmadığını Cauchy dizisi tanımından hareketle gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$  olsun.

$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon)$$
$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi değil}:\Leftrightarrow (\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\wedge |x_n-x_m|\geq \epsilon)$$

Bu bilgiler ışığı altında $\left (n+\frac{(-1)^n}{n}\right)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olmadığını göstermek için

$$(\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})\left(n,m\geq K\wedge \left|n+\frac{(-1)^n}{n}-m-\frac{(-1)^m}{m}\right|\geq \epsilon\right)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\epsilon=2$ olmak üzere her $K\in\mathbb{N}$ için $n:=2K-1$ ve $m:=2K+1$ seçilirse
$$\begin{array}{rcl} n,m\geq K\wedge \left|n+\frac{(-1)^n}{n}-m-\frac{(-1)^m}{m}\right| & = & \left|2K-1+\frac{(-1)^{2K-1}}{2K-1}-2K-1-\frac{(-1)^{2K+1}}{2K+1}\right| \\ & = & \left|-2-\frac{1}{2K-1}+\frac{1}{2K+1}\right| \\ & = & \left|-2-\frac{2}{4K^2-1}\right| \\ & = & 2+\frac{2}{4K^2-1}\geq 2 = \epsilon\end{array}$$ koşulu sağlanır yani $(*)$ önermesi doğru olur. O halde $$\left(n+\frac{(-1)^n}{n}\right)_n$$ dizisi bir Cauchy dizisi değildir.