Question

$((-1)^n)_n$ dizisinin Cauchy dizisi olmadığını Cauchy dizisi tanımından hareketle gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(x_n)_n\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$  olsun.

$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\rightarrow |x_n-x_m|<\epsilon)$$

$$(x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi değil}:\Leftrightarrow (\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\wedge |x_n-x_m|\geq \epsilon)$$

 

Bu bilgiler ışığı altında $((-1)^n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olmadığını göstermek için 

$$(\exists \epsilon>0)(\forall K\in \mathbb{N})(n,m\geq K\wedge |(-1)^n-(-1)^m|\geq \epsilon)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\epsilon=1$ olmak üzere her $K\in\mathbb{N}$ için $n:=2K$ ve $m:=2K+1$ seçilirse

$$n,m\geq K\wedge |(-1)^n-(-1)^m|=\left|(-1)^{2K}-(-1)^{2K+1}\right|=2\geq 1=\epsilon$$ koşulu sağlanır. Yani (*) önermesi doğrudur. O halde $$((-1)^n)_n$$ dizisi bir Cauchy dizisi değildir.