$I$ ve $J$ kümelerinin aralık olma koşulu kaldırılırsa iddia hala doğru olur mu?

Question

İlgili soruda $I$ ve $J$ kümelerinin aralık olma koşulu kaldırılırsa iddia hala doğru olur mu?

Answer 1

$I=[0,1)\cup[2,3],\ J=[0,2],\ f(x)=\begin{cases}x,&0\leq x<1\textrm{ ise}\\4-x,&2\leq x\leq3\textrm{ ise}\end{cases}$ olsun.

$f$ sürekli ve $1-1$ dir, ayrıca $f(I)=J$ olur.

$I$ bağlantısız, $J$ bağlantılı olduğundan $f$ bir homeomorfizma (topolojik denklik) olamaz.

(Aslında, bu önermede, $I$ nın aralık olması yeterli, o zaman, (iyi bilinen bir Analiz/Topoloji Teoreminden) $J=f(I)$ zaten aralık olacaktır.)