$I\subseteq\mathbb{R}$ olmak üzere $$I, \text{aralık}\Leftrightarrow(\forall a,b\in I) (a<b\Rightarrow [a,b]\subseteq I)$$

Question

Yani gerçel sayılar kümesinin bir $I$ altkümesinin aralık olması için gerek ve yeter koşul $I$ kümesinin her $a,b$ elemanı için $[a,b]\subseteq I$ koşulunun sağlanmasıdır. Gösteriniz.

Not: $[a,b]:=\{x|a\leq x\leq b\}$

Comments

Hocam bunu sormuştum ve siz cevaplamıştınız.

http://matkafasi.com/63572/mathbb-altkumesinin-bir-aralik-olmasi-icin-gerek-yeter-kosul?show=63572#q63572

---

Şimdi orada verdiğim teoremin ispatını soruyorum.

Answer 1

Gerek kısmı aralık tanımından açık. Yeter kısmını kanıtlayalım. Bu kısım için dört durum söz konusu.

$1. \text{ durum}:$ $I$ sınırlı, 

$2. \text{ durum}:$ $I$ üstten sınırlı alttan sınırlı değil,   

$3. \text{ durum}:$ $I$ alttan sınırlı üstten sınırlı değil, 

$4. \text{ durum}:$ $I$ alttan da üstten de sınırlı değil.

$1. \text{ durumun ispatı}:$ 

$$I \text{ sınırlı}$$

$$\overset{\scriptsize{\text{(Tamlık Aksiyomu)}}}{\Rightarrow}$$

$$(\exists a,b\in\mathbb{R})(\inf I=a)(\sup I=b)$$ $$\Rightarrow$$ $$I\subseteq [a,b]$$

Şimdi $$(a,b)\subseteq I$$ olduğunu gösterelim.

$$z\in (a,b)$$

$$\Rightarrow$$

$$(z\notin I^a)(z\notin I^ü)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists x\in I)(x<z)(\exists y\in I)(z<y)$$

$$\Rightarrow$$

$$z\in [x,y]$$

$$\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow}$$

$$z\in I$$

O halde $$(a,b)\subseteq I.$$

Sonuç olarak

$$a,b\in I\Rightarrow I=[a,b]$$

$$a,b\notin I\Rightarrow I=(a,b)$$

$$a\in I, b\notin I\Rightarrow I=[a,b)$$

$$a\notin I, b\in I\Rightarrow I=(a,b]$$

yani $I$ aralık.

Notasyon:  $$I^a:=\{x|y\in I\Rightarrow x\leq y\}, \,\ I^ü:=\{x|y\in I\Rightarrow y\leq x\}$$

Comments

Diğer durumlar için de benzer şeyler düşünülebilir.