Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A \subseteq Y \subseteq X$ olmak üzere

 $int_Y(A) \supseteq int_X(A)\cap Y$

olduğunu gösteriniz. Eşitliğin her zaman olmayacağına dair bir örnek veriniz.

Answer 1

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $A \subseteq Y \subseteq X$ ve $x\in int_X(A)\cap Y$ olsun. Amacımız $x\in int_Y(A)$ olduğunu göstermek. Bunun için de altuzayda $x$ noktasını içeren ve $A$ kümesi tarafından kapsanan bir açık kümenin var olduğunu göstermeliyiz.

$\begin{array}{rcl} x\in int_X(A)\cap Y &\Rightarrow& (x\in int_X(A))(x\in Y) \\ \\ & \Rightarrow & (\exists U\in O(X,x))(U \subseteq A)(x\in Y) \\ \\ &\Rightarrow & (U\cap Y\in O(Y,x))(U\cap Y \subseteq A\cap Y = A) \\ \\ & \Rightarrow & x\in int_Y(A) \end{array}$

O halde $int_X(A)\cap Y \subseteq int_Y(A).$