Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olsun. $$(A=int(cl(A)))(B=int(cl(\setminus A)))\Rightarrow \overline{A\cup B}^{\circ}=X$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Öncelikle ispatta kullanacağımız bir teoremi hatırlayalım:

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olsun. $$A \in \mathcal{C}(X,\tau) \Rightarrow int(A \cup B) \subseteq A \cup int(B).$$
Şimdi isteneni göstermeye geçebiliriz.

$A=int(cl(A))$ ve $B=int(cl(\setminus A))$ olsun.

$$\begin{array}{rcl} X \ \ \ \supseteq \ \ \ \overline{A\cup B}^{\circ} & = & int(cl[int(cl(A)) \cup int(cl(\setminus A))]) \\ \\ &= &int[cl(int(cl(A))) \cup cl(int(cl(\setminus A)))] \\ \\ & \supseteq & int[int(cl(A)) \cup cl(int(cl(\setminus A)))] \\ \\ & \supseteq & int[cl(int(cl(\setminus A))) \cup cl(A)] \\ \\ & \supseteq & int[int(cl(\setminus A)) \cup cl(A)] \\ \\ & \supseteq & int(cl(\setminus A) \cup cl(A)) \\ \\ & = & int(cl((\setminus A) \cup A) \\ \\ & = & int(cl(X)) \\ \\ & = & int(X) \\ \\ & =& X \end{array}$$

olduğundan

$$\overline{A\cup B}^{\circ}=X$$ olur.