Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $\mathcal{B}\subseteq 2^{X}$  ve  $\emptyset\neq Y\subseteq X$ olmak üzere $$\mathcal{B},\ \tau \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}, \ \tau_Y \text{ için baz}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(X,\tau)$ topolojik uzay; $\mathcal{B}$, $\tau$ için baz ve $\mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}$ olsun.

Amacımız $\mathcal{B}_Y$ ailesinin $\tau_Y$ altuzay (relatif) topolojisi için baz olduğunu göstermek. Bunun için de   $$\mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}\subseteq \tau_Y$$ olduğunu ve $$(\forall S\in\tau_Y)(\exists \mathcal{A}_Y\subseteq\mathcal{B}_Y)\left(S=\bigcup\mathcal{A}_Y\right)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}, \tau \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}\subseteq \tau \\ \\ \tau_Y:=\{Y\cap T|T\in \tau\}  \end{array}\right\}\Rightarrow \mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}\subseteq \tau_Y\ldots (1)$

 

Şimdi de $S\in\tau_Y$ olsun.

 
$\left.\begin{array}{rr} S\in\tau_Y\Rightarrow (\exists T\in\tau)(S=Y\cap T) \\ \\ \mathcal{B}, \tau \text{ için baz}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(S=Y\cap (\bigcup\mathcal{A}))$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(S=Y\cap (\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A)=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}(Y\cap A)) \\ \\ \mathcal{A}_Y:=\{Y\cap A|A\in\mathcal{A}\}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\mathcal{A}_Y\subseteq \mathcal{B}_Y)(S=\bigcup\mathcal{A}_Y).$

O halde $$(\forall S\in\tau_Y)(\exists \mathcal{A}_Y\subseteq\mathcal{B}_Y)\left(S=\bigcup\mathcal{A}_Y\right)\ldots (2)$$ önermesi de doğru.

$(1),(2)\Rightarrow \mathcal{B}_Y, \tau_Y$ için baz.