Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
714 kez görüntülendi
(xn)nRN,  0<x1<2 ve her nN için xn+1=6+6xn7+xn olduğuna göre (xn)n dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından  | 714 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her nN için 0<xn<2 olduğunu gösterelim.

Soruda 0<x1<2 verildiğinden n=1 için 0<x1<2 eşitsizliği doğru.

Şimdi belirli bir n için 0<xn<2 olduğunu varsayıp 0<xn+1<2 olduğunu gösterelim.

0<xn<27<7+xn<9

19<17+xn<17

367<367+xn<369=4

6367<6367+xn<64=2

0<67<6+6xn7+xnxn+1<2

0<xn+1<2

Dolayısıyla her nN için 0<xn<2 elde edilir. Yani dizi hem alttan hem de üstten sınırlıdır.

 

Her nN için xn<xn+1 olduğunu gösterelim.

Her nN için 0<xn<2 olduğunu göstermiştik.

O halde her nN için

0<xn<23<xn<2(3<xnxn<2)

(0<xn+3xn2<0)

(xn+3)(xn2)<0

x2n+xn6<0

x2n+7xn<6+6xn

xn<6+6xn7+xn=xn+1

elde edilir. Yani (xn)n dizisi artandır.

 

(xn) dizisi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi gereğince (xn) dizisi yakınsaktır. Dolayısıyla öyle bir L gerçel sayısı vardır ki limnxn=L olur. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak, (xn+1)n<(xn)n ve limnxn=L olduğundan limnxn+1=L olur.

xn+1=6+6xn7+xnL=limnxn+1=limn6+6xn7+xn==6+6L7+L

L2+L6=0

L=3L=2

Dizinin bütün terimleri pozitif olduğundan L=3 olamaz.

O halde limnxn=2 olur.

(11.6k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,081,461 kullanıcı