Her n∈N için 0<xn<2 olduğunu gösterelim.
Soruda 0<x1<2 verildiğinden n=1 için 0<x1<2 eşitsizliği doğru.
Şimdi belirli bir n için 0<xn<2 olduğunu varsayıp 0<xn+1<2 olduğunu gösterelim.
0<xn<2⇒7<7+xn<9
⇒19<17+xn<17
⇒−367<−367+xn<−369=−4
⇒6−367<6−367+xn<6−4=2
⇒0<67<6+6xn7+xn⏟xn+1<2
⇒0<xn+1<2
Dolayısıyla her n∈N için 0<xn<2 elde edilir. Yani dizi hem alttan hem de üstten sınırlıdır.
Her n∈N için xn<xn+1 olduğunu gösterelim.
Her n∈N için 0<xn<2 olduğunu göstermiştik.
O halde her n∈N için
0<xn<2⇒−3<xn<2⇒(−3<xn∧xn<2)
⇒(0<xn+3∧xn−2<0)
⇒(xn+3)(xn−2)<0
⇒x2n+xn−6<0
⇒x2n+7xn<6+6xn
⇒xn<6+6xn7+xn=xn+1
elde edilir. Yani (xn)n dizisi artandır.
(xn) dizisi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi gereğince (xn) dizisi yakınsaktır. Dolayısıyla öyle bir L gerçel sayısı vardır ki limn→∞xn=L olur. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak, (xn+1)n<(xn)n ve limn→∞xn=L olduğundan limn→∞xn+1=L olur.
xn+1=6+6xn7+xn⇒L=limn→∞xn+1=limn→∞6+6xn7+xn=…=6+6L7+L
⇒L2+L−6=0
⇒L=−3∨L=2
Dizinin bütün terimleri pozitif olduğundan L=−3 olamaz.
O halde limn→∞xn=2 olur.