Question

$(X,d)$ metrik uzay, $A\subseteq X$ ve $x\in X$ olmak üzere $$(A\neq \emptyset)(d(x,A)=0)\Leftrightarrow x\in \overline{A}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Karşıtının ispatı:

$x\in\bar{A}$ olsun. Her $\varepsilon>0$ için (en az) bir $y_\varepsilon\in B_\varepsilon(x)\cap A$ vardır.

Buradan, önce, (örneğin $\varepsilon=1$ alıp) $A\neq\emptyset$ elde ederiz.

$d(x,A)=\inf\{d(x,z):z\in A\}$ olduğu için, her $\varepsilon>0$ için $d(x,A)\leq d(x,y_\varepsilon)<\varepsilon$ elde edilir.

Tanımından, $d(x,A)\geq0$ olduğu için  $d(x,A)=0$ olduğu da elde edilir.

Answer 1

$(d(x,A)=0\Rightarrow x\in \overline{A})\equiv (x\notin\overline{A}\Rightarrow d(x,A)\neq 0)$ olduğundan  $x\notin\overline{A}$ olsun.Bu takdirde ;

$\begin{array}{rcl} x\notin\overline A & \Rightarrow &(\exists\epsilon>0)(\forall a\in A)(d(x,a)\geq\epsilon)   \\ & \Rightarrow &  (\exists\epsilon>0)( \forall b\in\{d(x,a)|a\in A\})(b\geq\epsilon) \\ & \Rightarrow &\text{inf}\{d(x,a)|a\in A\}\neq 0 \\ & \Rightarrow  & d(x,A)\neq 0 \end{array}$

o halde  $(d(x,A)=0\Rightarrow x\in \overline{A})\equiv 1$

şimdi;  $(x\in\overline{A}\Rightarrow d(x,A)=0)\equiv 1$ olduğunu gösterelim

$x\in\overline{A}\Rightarrow (\ \forall\epsilon>0)(\exists y_\epsilon\in A)(A\cap B(x,\epsilon)\neq\emptyset)\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} (\ \forall\epsilon>0)( y_\epsilon\in A\cap B(x,\epsilon))   \\ \\ d(x,A)=\text{inf}\{d(x,z)|z\in A\}\end{array} \right\} \Rightarrow (\forall\epsilon >0)(d(x,A)\leq d(x,y_\epsilon)<\epsilon)\Rightarrow\end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow d(x,A)\leq 0 \\ \\ d(x,A)\geq 0 \end{array}\right\}\Rightarrow d(x,A)=0$