Question

$I\subseteq \mathbb{R}$ aralık, $f\in\mathbb{R}^I$ ve $f, \ I$'da türevlenebilir olmak üzere $$f, \ I\text{'da Lipschitz sürekli}\Leftrightarrow (\exists K>0)(\forall a\in I)(|f'(a)|\leq K)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $f, \ I$'da türevlenebilir ve Lipschitz sürekli olsun.

$f, \ I\text{'da Lipschitz sür.}\Rightarrow (\exists K>0)(\forall x,a\in I)(|f(x)-f(a)|\leq K|x-a|)$

$\Rightarrow (\exists K>0)(\forall x,a\in I)\left(x\neq a \Rightarrow \frac{|f(x)-f(a)|}{|x-a|}=\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|\leq K\right)$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists K>0)(\forall x,a\in I)\left(x\neq a \Rightarrow\lim\limits_{x\to a}\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| =\left|\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|\leq K\right) \\ \\ f, \ I\text{'da türevlenebilir}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\exists K>0)(\forall a\in I)\left(\left|f'(a)\right|\leq K\right).$

 

$(\Leftarrow):$ $f, \ I$'da türevlenebilir ve $x,a\in I$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} f, \ I\text{'da türevlenebilir}\Rightarrow f, \ I\text{'da sürekli} \\ \\ (I, \text{ aralık})(x,a\in I)\Rightarrow [a,x]\subseteq I\end{array}\right\}\Rightarrow f, \ [a,x]\text{'da sürekli}\ldots (1)$

 
$\left.\begin{array}{rr} f, \ I\text{'da türevlenebilir} \\ \\ (I, \text{ aralık})(x,a\in I)\Rightarrow (a,x)\subseteq I\end{array}\right\}\Rightarrow f, \ (a,x)\text{'da türevlenebilir}\ldots (2)$

 
$(1),(2)\overset{\text{ODT}}{\Longrightarrow} (\exists c\in (a,x))\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)\right)$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists c\in (a,x))\left(\left|f(x)-f(a)\right|=\left| f'(c)\right| \cdot |x-a|\right) \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\exists K>0)(\forall x,a\in I)\left(\left|f(x)-f(a)\right| \leq K\left|x-a\right| \right).$

Comments

NOT: Ortalama Değer Teoremi (ODT)