$a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$a < b \Rightarrow (\exists x\in\mathbb{Q}) (a < x < b)$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani $\mathbb{Q}$ rasyonel sayılar kümesinin $\mathbb{R}$ içinde yoğun olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a < b$ olsun.

$\textbf{I.Durum:} \ a < 0 < b$ olsun.

$a < 0 < b \Rightarrow 0 \in\mathbb{Q}$ olduğundan istenilen gösterilmiş olur.

$\textbf{II.Durum:}  \ 0 < a < b$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} a < b \Rightarrow 0 < b-a \\ \\ \text{Arşimet Özelliği} \end{array}\right\}  \Rightarrow  (\exists n\in\mathbb{N})(\frac {1}{n} < b-a) \ ...(1)$

$m = \lfloor n.a \rfloor$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} m= \lfloor n.a \rfloor \Rightarrow m\leq n.a < m+1 \\ \\ n\in\mathbb{N} \Rightarrow 0\leq n \Rightarrow 0< \frac{1} {n} \end{array}\right\} \Rightarrow \frac {m} {n} \leq a < \frac {m+1} {n} \ ...(2)$

$\Rightarrow a \overset{(2)} < \frac{m+1} {n} = \frac {m} { n} + \frac{1} {n} \overset{(2)}\leq a + \frac {1} {n} \overset{(1)} < a +(b-a) = b$ 

$\Rightarrow a < \frac{m+1}  {n} < b.$ 

olur ve 

$$x:=  \frac{m+1} {n}$$  

olarak seçilirse istenilen gösterilmiş olur. $x\in\mathbb{Q}$ olduğu zaten açıktır.

$\textbf{ III.Durum:} \  a < b \leq 0$ olsun.

Bu durumda $\text{II.Duruma}$  benzer şekilde yapılır.

Answer 2

I. Durum: $a<b$ ve $a\geq 0$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} a<b\Rightarrow 0<b-a \\ \\ \text{Arşimet özelliği} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} (\exists n_0\in\mathbb{N})\left(1<n_0\cdot (b-a)\right)  \\ \\ m_0:=\min\{m\in\mathbb{N}|m\cdot \frac1{n_0}>a\}\end{array} \right\} \Rightarrow  \end{array}$

 

$\Rightarrow (m_0-1\in\mathbb{N})\left(\frac{m_0-1}{n_0}\leq a<\frac{m_0}{n_0}=\frac{m_0-1}{n_0}+\frac{1}{n_0}< a+(b-a)=b\right).$

 

II. Durum: $a<b$ ve $a<0$ olsun. Burada da iki durum var. $0\leq b$ ve $b<0$ durumu.

 

• $0\leq b$ durumu.
• $0\leq b\Rightarrow (0\in\mathbb{Q})(a<0\leq b)$

•  
• $b<0$ durumu.
• $\left.\begin{array}{rr} b<0 \\ a<b\end{array}\right\}\Rightarrow a<b<0\Rightarrow 0<-b<-a\overset{\text{(I. durum)}}{\Rightarrow} (\exists x\in\mathbb{Q})(-b<x<-a).$