$\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N}\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(\min X=n)$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani doğal sayılar kümesinin boştan farklı her altkümesinin bir en küçük elemanının var olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N}$ ve $A:=\{ a\in\mathbb{N} : (\forall b\in X)(a\leq b) \}$ olsun.

$\emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in \mathbb{N})(b\in X) \Rightarrow 0\leq b\Rightarrow  0\in A \ ...(1)$ 

$\left.\begin{array}{rr}  \emptyset\neq X\subseteq\mathbb{N} \Rightarrow (\exists b\in\mathbb{N})(b\in X) \\ \\ b < b+1 \end{array}\right\} \Rightarrow b+1 \notin A \Rightarrow A\neq\mathbb{N}$ 

$\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(n\in A \Rightarrow n+1\notin A) \overset{ ?} \Rightarrow \min X =n.$

Şimdi $(?)$ olan geçişi biraz inceleyelim:

$\min X=n$ olduğunu söylediğimize göre $$[ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b) ]$$

önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$n\notin X$ olsaydı.  $$[ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv 1$$ olurdu ve $n+1 \notin A$ olmasıyla çelişirdik. Şimdi bu önermenin nasıl doğru olduğunu görelim. $$[ n\notin X \Rightarrow n+1\in A ] \equiv [ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X]$$

olduğundan $$[ n+1 \notin A \Rightarrow n\in X]$$

önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

$n+1 \notin A \Rightarrow (\exists b\in X)(b < n+1) \Rightarrow b= n \ \vee \  b < n$

olur. 

$\textbf{ I.Durum:} \ b = n$ olsun.

$b=n \Rightarrow n\in X$.

$\textbf { II.Durum: } \ b< n$ olsun.

$b < n \Rightarrow n\notin A$ olur yani $n+1\notin A \Rightarrow n\notin A \ ... (2)$

$(1) , (2) \Rightarrow A = \mathbb {N}$ olur ve $A \neq \mathbb {N}$ olması ile çelişiriz.

Dolayısıyla bu iki durumda incelendiğinde: $$[ n+1\notin A \Rightarrow n\in X ]$$

önermesinin doğru olduğunu görürüz. Yani $$[ n\notin X \Rightarrow n+1 \in A ]$$ önermesi doğru olur. Fakat $n+1 \notin A$ olduğundan çelişki. Dolayısıyla $n\in X$ olur.

Şimdi $$(\forall b\in X)(n\leq b)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Varsayalım ki $$(\exists b\in X)(b < n )$$ önermesi doğru olsun.

$(\exists b\in X)(b<n) \Rightarrow n\notin A$ olur. Buradan $$[ n\in A \Rightarrow n+1 \in A]  \ ...(3)$$ önermesinin doğru olduğunu görürüz. 

$(1),(3) \Rightarrow A=\mathbb{N}$ olur. Fakat $A\neq \mathbb{N}$ olduğundan çelişki. O halde $$(\forall b\in X)(n\leq b)$$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla $$[ n\in X \ \wedge \ (\forall b\in X)(n\leq b)]$$ önermesi doğru olur. Yani $\min X= n.$