Question

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x<a+\frac{b-a}{2n}\right)\Rightarrow x\leq a$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

İlk olarak $x=a$ iken her $n$ pozitif tam sayısı için eşitsizliğin sağlandığını gösterelim. $a<a+\dfrac{b-a}{2n}$ olup eşitsizlik $\dfrac{b-a}{2n}>0$ biçimine dönüşür. $b>a$ olduğundan bu eşitsizliğin her  $n$ pozitif tam sayısı için sağlandığı açıktır.

Şimdi $a$'dan daha daha büyük bir $x$ değerinde eşitsizliğin sağlamayan $n$ değerlerinin bulunduğunu gösterelim. Bir $\epsilon >0$ sabit sayısı için $x=a + \epsilon$ alalım. Eşitsizlikte yazarsak $a + \epsilon < a+\dfrac{b-a}{2n}$ olup $n < \dfrac{b-a}{2\epsilon}$ elde edilir. $\epsilon > 0$ değeri ne kadar küçük seçilirse seçilsin $\dfrac{b-a}{2\epsilon}$ bir sabit olup yeterince büyük bir $n$ değerini için $n < \dfrac{b-a}{2\epsilon}$ sağlanmayacaktır. Dolayısıyla $x$ değerleri $a$'dan daha büyük seçilemez. $x \leq a$ elde edilir.

Comments

Sondan ikinci cümlenin bir gerekçesi olmalı.

---

Sondan ikinci cümlede $n< \dfrac{b-a}{2\epsilon}$ eşitsizliğini bozan yeterince büyük $n$ pozitif tamsayıları bulunabilir yazmıştım. Çok bariz olduğunu düşünerek ekleme yapmamıştım ama bu vesileyle biraz daha açıklama yazalım. Eşitsizliği bozacak bu $n$ değerlerinden biri $n=\lfloor \dfrac{b-a}{2\epsilon} \rfloor + 1$ tam değeridir. Zira 

$$\lfloor \dfrac{b-a}{2\epsilon}\rfloor \leq \dfrac{b-a}{2\epsilon} < \lfloor\dfrac{b-a}{2\epsilon}\rfloor + 1$$

dir.

Not: Belki ''Arşimet Prensibi'nden dolayı ...'' diye yazılarak tamamlanabilirdi. Önceki çözümlerde bu terimi kullanmadığım için burada da yazmaktan imtina ettim. Bu defa da ''Bu prensip neden doğrudur?'' sorusuyla devam edilebilirdi. Arşimet Prensibi bir aksiyom mudur, yoksa yukarıda yazdığım biçimde doğruluğu basitçe ispatlanabilir bir teorem midir emin değilim. A.P bir aksiyom ise doğruluğunu ispatsız olarak kabul ediyoruz demektir. Aksiyom değilse ve yukarıda verdiğim tam değer içeren eşitsizlik kanıtı da yanlış ise yanlışın nerede olduğunu ve farklı A.P ispatlatını dinlemek isterim. İyi çalışmalar diliyorum.  

---

Arşimet özelliğini kanıtlayabiliyoruz. Müsait olduğum bir ara eklerim. İyi çalışmalar.

---

Hatta Arşimet özelliğini bir soru olarak soralım. Sonra birine lazım olduğunda kolayca bulsun.

Answer 2

$$\left[(\forall n\in\mathbb{N})\left(x<a+\frac{b-a}{2n}\right)\Rightarrow x\leq a\right]\equiv \left[x>a\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\geq a+\frac{b-a}{2n}\right)\right]$$

olduğundan $$(\forall n\in\mathbb{N})\left(x<a+\frac{b-a}{2n}\right)\Rightarrow x\leq a$$ önermesi yerine  

$$x>a\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})\left(x\geq a+\frac{b-a}{2n}\right)$$ önermesini kanıtlayabiliriz. 

$x>a$ olsun.

$$x>a$$

$$\Rightarrow$$

$$x-a>0$$

$$\overset{a<b}{\Rightarrow}$$

$$\frac{b-a}{2(x-a)}>0$$

$$\overset{\text{Arşimet Özelliği}}\Rightarrow$$

$$(\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac{b-a}{2(x-a)}\leq n\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists n\in\mathbb{N})\left(x\geq a+\frac{b-a}{2n}\right).$$