$$n\in\mathbb{N}\Rightarrow 0\leq n$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Her doğal sayının sıfırdan büyük veya eşit olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Tüm tümevarımsal kümelerin arakesiti yine bir tümevarımsal kümedir ve en küçük tümevarımsal kümedir. Bu en küçük tümevarımsal kümeye DOĞAL SAYILAR KÜMESİ denir ve $\mathbb{N}$ ile gösterilir.

$\mathbb{R}^{\geq 0}$ kümesi bir tümevarımsal küme ve $\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi de en küçük tümevarımsal küme olduğundan $$\mathbb{N}\subseteq \mathbb{R}^{\geq 0}$$ elde edilir. Dolayısıyla her $n\in\mathbb{N}$ için $$0\leq n$$ olur.

Answer 2

$n\in\mathbb{N} \Rightarrow 0\leq n$

önermesini tümevarım metoduyla kanıtlayalım.

$n=0$ için

$$0\leq 0$$

eşitsizliği doğru.

$n=t$ için 

$$0\leq t$$

eşitsizliğinin doğru olduğunu kabul edelim.

$n=t+1$ için

$\left.\begin{array}{rr} t < t+1 \Rightarrow ( t\leq t+1 \ \wedge \ t\neq t+1 ) \\ 0\leq t \end{array}\right\} \Rightarrow 0\leq t+1 .$

O halde her $n\in\mathbb{N}$ için $0\leq n$ eşitsizliği sağlanır.