Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
771 kez görüntülendi
İlgili linkteki fonksiyonun π noktasında sürekli olmadığını gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 771 kez görüntülendi

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

cR olsun. f nin c de sürekli olduğunu varsayıp, bir çelişki bulacağız.

f(c)=0 veya f(c)=1 olacaktır. Her iki durumda da

{0,1}(f(c)1,f(c)+1) olur.

ε=1 alalım.

Eğer f, c de sürekli ise, |xc|<δ eşitsizliğini sağlayan her xR için |f(x)f(c)|<ε=1 olacak şeklide bir δ>0 sayısı var olur.

Bu ise:

x(cδ,c+δ) için f(x)(f(c)1,f(c)+1) 

olması demektir.

(cδ,c+δ)  bir aralık olduğu için, içinde hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar bulunur.

x(cδ,c+δ), xQ olsun. f(x)=1(f(c)1,f(c)+1) olur.

y(cδ,c+δ), yQ olsun. f(y)=0(f(c)1,f(c)+1) olur.

Bu ikisinden,

{0,1}(f(c)1,f(c)+1) elde edilir. Çelişki.


(6.3k puan) tarafından 
Bazı fonksiyonların her noktada süreksiz oluşu
0 beğenilme 0 beğenilmeme

f fonksiyonunun π noktasında sürekli olduğunu varsayalım ve ϵ=1 alalım. Bu durumda

ϵ=1f, π'de sürekli}(δ>0)(R(πδ,π+δ)f1[(f(π)1,f(π)+1)])

(δ>0)((πδ,π+δ)f1[(1,1)])

(δ>0)(f(πδ,π+δ)(1,1))

{0,1}(1,1)

çelişkisi elde edilir.



(405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Doğan hocam fonksiyonun hiçbir noktada sürekli olmadığını kanıtlamış. Kanıt gayet açık. Biz de bu linkte yer alan teorem yardımıyla yapılmış bir çözüm ekleyelim:

k=0(1)k2k+1=π4 olduğunu  biliyoruz (Neden?)

4k=0(1)k2k+1=4(113)+4(1517)+ olduğundan xn=4nk=0(14k+114k+3)=8nk=01(4k+1)(4k+3) kısmi toplamlar dizisi artan ve π sayısına yakınsayan bir rasyonel sayı dizisi olur.  (xn)nQN ve xnπ fakat f(xn)=110=f(π) olduğundan bu linkteki teorem uyarınca f fonksiyonu π noktasında sürekli değildir.

(11.5k puan) tarafından 
20,329 soru
21,886 cevap
73,617 yorum
2,992,046 kullanıcı