c∈R olsun. f nin c de sürekli olduğunu varsayıp, bir çelişki bulacağız.
f(c)=0 veya f(c)=1 olacaktır. Her iki durumda da
{0,1}⊈(f(c)−1,f(c)+1) olur.
ε=1 alalım.
Eğer f, c de sürekli ise, |x−c|<δ eşitsizliğini sağlayan her x∈R için |f(x)−f(c)|<ε=1 olacak şeklide bir δ>0 sayısı var olur.
Bu ise:
∀x∈(c−δ,c+δ) için f(x)∈(f(c)−1,f(c)+1)
olması demektir.
(c−δ,c+δ) bir aralık olduğu için, içinde hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar bulunur.
x∈(c−δ,c+δ), x∈Q olsun. f(x)=1∈(f(c)−1,f(c)+1) olur.
y∈(c−δ,c+δ), y∉Q olsun. f(y)=0∈(f(c)−1,f(c)+1) olur.
Bu ikisinden,
{0,1}⊆(f(c)−1,f(c)+1) elde edilir. Çelişki.