Bazı fonksiyonların her noktada süreksiz oluşu

Question

İlgili sorunun daha genel bir şekli:

$(X,\tau),\ (Y,\tau')$ iki topolojik uzay ve $y_1,y_2\in Y,\ y_1\neq y_2$ olsun. Bir $A\subset X$ alt uzayı hem kendisi hem de tümleyeni ($A^c=\complement A=X\setminus A$), $X$ de yoğun olsun.

$f(x)=\begin{cases}y_1,\quad x\in A\\y_2,\quad x\notin A\end{cases}$ olarak tanımlayalım.

Eğer $(Y,\tau')$ bir $T_1$ uzay ise, $f$ nin hiç bir noktada sürekli olmadığını gösterin.

" $(Y,\tau')$ bir $T_1$ uzay " olma koşulu kaldırılırsa, iddianın yanlış olduğunu (bir karşı örnek bularak) gösterin. 

Answer 1

Bir $x_0\in X$ noktası alalım.

$(Y,\tau')$ bir $T_1$ uzay olduğu için $y_1\in V_1,\ y_2\in V_2,  y_1\notin V_2,\ y_2\notin V_1$ olacak şekilde $V_1,V_2$ ($Y$ nin) açık kümeleri vardır.

$x_0\in A$ ise $f(x_0)=y_1$ aksi halde $f(x_0)=y_2$  olur.

$x_0\in A$ durumunda  $V=V_1$,  $x_0\notin A$ durumunda $V=V_2$ olsun.

$V,\ f(x_0)$ noktasını içeren bir açık kümedir.

$U,\ x_0$ noktasını içeren herhangi bir açık küme olsun.

$U\neq\emptyset$ ve hem $A$, hem de ($A$ nın tümleyeni) $\complement A,\ X$ de yoğun olduğu için$x_1\in A\cap U$ ve $x_2\in \complement A\cap U$  olacak şekilde  $x_1,x_2\in X$ elemanları vardır.

$f(x_1)=y_1,\ f(x_2)=y_2$ olduğu için ($y_1,y_2\in f(U)$ olur, bu nedenle) $f(U)\nsubseteq V$ dir.

Bu da $f(U)\subseteq V$ olacak şekilde, $x_0$ noktasını içeren bir $U$ açık kümesinin var olmaması demektir. 

Bu da $f$ nin $x_0$ noktasında süreksiz olması demektir. 

(İddiamız, $f$ nin $x_0$ da sürekli olduğu varsayılıp bir çelişki elde ederek de gösterilebilir)

Ek: $(Y,\tau),\ T_1$ olmaması durumunda karşı örnek:

$X=Y=\{1,2\},\ \tau=\tau'=\{\emptyset,X\},\ \ f(x)=x\ ( \forall x\in X),\ \ A=\{1\}$  olsun. 

$f$ (her yerde) süreklidir.