$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & , & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & , & x\notin\mathbb{Q}\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $0$ ve $e$ noktalarında sürekli olmadığını gösteriniz.

Question

Sonra da bu fonksiyonun hiçbir noktada sürekli olmadığını gösteriniz.

Comments

Bu soru vardi sanki. 

Answer 1

Şu teoremi kullanarak kolayca gösterebiliriz.

Teorem: $A\subseteq\mathbb{R}$,  $f\in\mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere

$$f,\  a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \left(\forall (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a))$$ ya da buna denk olarak

$$f,\  a\text{'da süreksiz}\Leftrightarrow \left(\exists (x_n)\in A^{\mathbb{N}}\right)(x_n\to a\wedge f(x_n)\nrightarrow f(a)).$$ Soruya tekrar dönecek olursak

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$ ve $$\frac{\sqrt{2}}{n}\to 0$$ fakat $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=0\nrightarrow 1=f(0)$$ olduğundan $f$ fonksiyonu $0$ noktasında sürekli değildir. $\left(f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=0\to 0\right).$

Benzer şekilde $$\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$$ ve $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$$ fakat $$f\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=1\nrightarrow 0=f(e)$$ olduğundan $f$ fonksiyonu $e$ noktasında sürekli değildir. $\left(f\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=1\rightarrow 1\right).$

Her noktada süreksiz olduğunu da egzersiz olarak bırakalım.