Question

$(X,d),(Y,d')$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere $$(\langle x_n\rangle, \ X\text{'de Cauchy Dizisi})(f, \text{ izometri})$$ $$\Rightarrow$$ $$\langle f(x_n)\rangle, \ Y\text{'de Cauchy Dizisi}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\langle x_n\rangle, \ X$'de Cauchy dizisi, $f:X\to Y$ izometri ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{r}\langle x_n\rangle, \ X\text{'de Cauchy dizisi} \\ \\ \epsilon>0 \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} (\exists N\in\mathbb{N})(\forall m,n\geq N)(d(x_m,x_n)<\epsilon) \\ \\ f:X\to Y \text{ izometri} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\exists N\in\mathbb{N})(\forall m,n\geq N)(d'(f(x_m),f(x_n))=d(x_m,x_n)<\epsilon).$