$(X,d)$ metrik uzay ve $(x_n)_n,$ $X$’de dizi olmak üzere $$``\lim_{n\to\infty}d(x_n,x_{n+1})=0\Rightarrow (x_n)_n, \text{ Cauchy dizisi}"$$ önermesi her zaman doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

$(X,d)$ metrik uzay ve $(x_n),$ $X$’de dizi olmak üzere $$``\lim_{n\to\infty}d(x_n,x_{n+1})=0\Rightarrow (x_n), \text{Cauchy dizisi}"$$ önermesi her zaman doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Comments

İpucu: Harmonik seriyi düşününüz.

Answer 1

Genel terimi $$x_n=\ln n$$ olan $$(x_n)_n$$ gerçel sayı dizisi için $$\lim_{n\to\infty}d(x_{n+1},x_n)=\lim_{n\to\infty}|\ln(n+1)-\ln n|=\lim_{n\to\infty}\left|\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right|$$ $$=$$ $$\lim_{n\to\infty}\left[\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]\overset{?}{=}\ln\left[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]=\ln 1=0$$ olmasına karşın $$(x_n)_n$$ dizisi -sınırlı olmadığından- Cauchy dizisi değildir.

 

Not: "?" işaretinin olduğu geçişin gerekçesi de önemli.