Question

$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$x-1<x$$ olduğunu kanıtlayınız.

Answer 1

Önceden  $0<1$ olduğunu kanıtlamıştık(bakınız). Eşitsizliğin her iki yanının negatif sayı ile çarpıldığında yön değiştirdiğini de bildiğimizden (bakınız)

$$0>-1$$ yazabiliriz.Her iki tarafa $x$ reel sayısını eklediğimizde yön değiştirme olmayacağından (bu, $\mathbb{R}$ nin bir aksiyomudur)  $$x>-1+x$$ olduğu görülür.

Answer 2

$$0<1$$ $$\overset{(1)}\Rightarrow$$ $$0\leq 1\wedge 0\neq 1$$ $$\overset{(2)}\Rightarrow$$ $$0\leq 1$$ $$\overset{(3)}{\Rightarrow}$$ $$-1\leq -0$$ $$\overset{(4)}{\Rightarrow}$$ $$-1\leq 0$$ $$\overset{(5)}{\Rightarrow}$$ $$x+(-1)\leq x+0$$ $$\overset{(6)}{\Rightarrow}$$ $$x-1\leq x$$ $$\overset{(7)}{\Rightarrow}$$ $$x-1<x.$$

Geçişlerin gerekçeleri:

$(1)$ Tanım: $x<y:\Leftrightarrow (x\leq y\wedge x\neq y)$

$(2)$ Teorem: $[(p\wedge q)\Rightarrow p]\equiv 1$

$(3)$ Teorem: $x\leq y\Rightarrow -y\leq -x$

$(4)$ Teorem: $-0=0$

$(5)$ Teorem: TS aksiyomu (Bu linkte mevcut)

$(6)$ Tanım: $x-y:=x+(-y)$ ve $T_2$ aksiyomu

$(7)$ Teorem: $x\in\mathbb{R}\Rightarrow x-1\neq x$