Question

$x,y\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$x<\frac{x+y}{2}<y$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$x\lt y$  olsun. Önce eşitsizliğin her iki yanına  $y$  ekleyelim.

$$x+y\lt 2y$$   olur. Şimdi de  her iki yana   $x$  ekleyelim: $$2x \lt x+y$$ olur. İki eşitsizlik birleştirilirse  $$x\lt \dfrac{x+y}{2}\lt y$$   bulunur. Demek ki iki reel sayı arasında başka bir reel sayı daima mevcuttur.  $\dfrac{x+y}{2}$ sayısı  sayıların Aritmetik ortası (kısaca AO diyelim) olduğundan , sayılar eşit verildiğinde $x=y=AO$  olmalıdır.