Question

$A=\left\{\frac1n|n\in\mathbb{N}\right\}$ ise $\inf A=0$ olduğunu gösteriniz.      

Comments

$A$ kümesinin tanımındaki  sanıyorum $\mathbb{N^+}$ .

---

 Bazı matematikçiler $0$ sayısını doğal sayı olarak almıyor. 

Answer 1

$\emptyset\neq A$ ve $0,$ $A$ kümesinin bir alt sınırı olduğundan (bu linkteki teorem uyarınca) $A$ kümesinin en büyük alt sınırı vardır. Bu $A$ kümesinin en büyük alt sınırı $x$ yani  $$\inf A=x$$ olsun. $x\geq 0$ olduğunu görmek zor olmasa gerek. Öte yandan herhangi bir $\epsilon>0$ sayısı için -Arşimet Özelliği gereği-  $$\frac1{\epsilon}<n$$ olacak şekilde en az bir $n\in\mathbb{N}$ vardır. Buradan da $$0\leq x\leq\frac1n<\epsilon$$ eşitsizliği elde edilir. $\epsilon$ keyfi olduğundan (bu linkteki teorem uyarınca) $$x=0$$ olur.