Question

$$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(0,\frac1n\right)=\emptyset$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(0,\frac1n\right)\neq\emptyset$ olduğunu varsayalım.

$$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(0,\frac1n\right)\neq\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists x\in\mathbb{R})(\forall n\in\mathbb{N})\left(x<\frac1n\right)$$

$$\equiv$$

$$\neg\left[(\forall x\in\mathbb{R})(\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac1n\leq x\right)\right]$$

$$\equiv$$

$$\neg\left[\underset{\text{Doğru (Arşimet Özelliği)}}{\underbrace{(\forall x\in\mathbb{R})(\exists n\in\mathbb{N})\left(\frac1x\leq n\right)}}\right]$$

$$\equiv$$

$$\neg 1$$

$$\equiv$$

$$0$$ yani çelişki. O halde varsayımımız yanlış yani $$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(0,\frac1n\right)=\emptyset$$ olur.