İki değişkenli fonksiyonların birebirliğinin incelenmesi

Question

$f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}, f(x,y)=2^{x-1}(2y-1)$ fonksiyonunun birebir olduğunu nasıl gösterebiliriz.

Comments

İPUCU:  $$(x,y)\neq (x',y')\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$$ önermesinin doğru olduğunu göstereceğiz.

$$(x,y)\neq (x',y')$$ $$\Rightarrow$$ $$(x\neq x'\wedge y=y') \vee  (x=x'\wedge y\neq y')\vee  (x\neq x'\wedge y\neq y')$$

I. Durum: $x\neq x'\wedge y=y'$ olsun.

II. Durum: $x=x'\wedge y\neq y'$ olsun.

III. Durum: $x\neq x'\wedge y\neq y'$ olsun.

---

Sorulariniz hangi kategoride olursa olsun sorulariniza icerik eklemeniz gereklidir. 

---

İpucu yeterli oldu. Birebirliğini gösterdim. Örtenliğini nasıl gösterebilirim.

Answer 1

I. Durum: $x\neq x'\wedge y=y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\neq x'\Rightarrow 2^{x-1}\neq 2^{x'-1} \\ \\ y=y'\Rightarrow 2y-1=2y'-1 \end{array} \right\}\Rightarrow 2^{x-1} (2y-1)\neq 2^{x'-1}(2y'-1)\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$

$-----------------------------------$

II. Durum: $x=x'\wedge y\neq y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x= x'\Rightarrow 2^{x-1}=2^{x'-1} \\ \\ y\neq y'\Rightarrow 2y-1\neq 2y'-1 \end{array} \right\}\Rightarrow 2^{x-1} (2y-1)\neq 2^{x'-1}(2y'-1)\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$

$-----------------------------------$

III. Durum: $x\neq x'\wedge y\neq y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\neq x'\Rightarrow 2^{x-1}\neq 2^{x'-1} \\ \\ y\neq y'\Rightarrow 2y-1\neq 2y'-1 \end{array} \right\}\overset{?}{\Rightarrow} 2^{x-1} (2y-1)\neq 2^{x'-1}(2y'-1)\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$

Answer 2

Aritmetiğin temel teoremi sayesinde, her doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz. Ve bu çarpanlara ayırma tek şekilde yapılır. Yani Iki sayının asal çarpanlara ayrımı farklıysa, aynı sayı olamazlar.

Bu da bize her sayıyı "$2^{a} \cdot \text{ bir tek sayı}$" şeklinde yazabileceğimizi söyler. Tanımladığın fonksiyonun örten olmasının sebebi budur.

Aritmetiğin temel teoremi aynı zamanda yukarıdaki yazılımın tek bir şekilde yazılabileceğini söyler. Bu da fonksiyonun birebir olması demektir.