Question

$\emptyset$ $\neq S \subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere $$(\sup(S):=s^{*} \in S)(u \notin S)$$ $$\Rightarrow$$ $$\sup(S \cup \{u\})=\sup \{ s^{*}, u \}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Neresinde takildiniz tam olarak?

---

sup yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$sup$$ şeklinde olur. \sup yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$\sup$$ olur. 

Answer 1

Teşekkürler takıldığım bir nokta yok, ispatı şu şekilde yaptım.

$s^{*} \in S$ ve $u \notin S$ olsun.

$(s^{*} \in S)$$(u \notin S)$ $\Rightarrow$ $s^{*} \neq u$ $\Rightarrow$ $(u$ $<$ $s^{*})$  $\vee$ $(s^{*}$ $<$ $u)$ 

I. Durum: $u$ $<$ $s^{*}$ olsun.  

$u$ $<$ $s^{*}$ $\Rightarrow$  $\sup\{u,s^{*}\}=s^{*}$.

$u$ $<$ $s^{*}$ $\Rightarrow$ $u \notin S^{Ü}$

             $\Rightarrow$ $\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S)=$$s^{*}$.

II. Durum: $s^{*}$ $<$ $u$ olsun.  

$s^{*}$ $<$ $u$ $\Rightarrow$  $sup\{u,s^{*}\}=u$.

$(u \notin S)$$(s^{*}$ $<$ $u)$ $\Rightarrow$ $u \in S^{Ü}$ 

                              $\Rightarrow$ $\sup\{S \cup \{u\} \}=$$u$.

Her iki durumda da eşitliği gösterdiğimizden

$\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup\{u,s^{*}\}$ olur. 

(Burada $S^{Ü}$ gösteriminden kasıt $S$ kümesinin üst sınırlarının oluşturduğu kümedir.) 

Comments

$u=s^*$ da olabilir.

Birinci durumdaki $\sup\{S\cup\{u\}\}=\sup(S)$ esitligi nasil geldi?

---

Hipotezden elimizde $s^{*} \in S$ ve $u \notin S$ olduğu var. $u=s^{*}$ olması hipoteze aykırı bir durum olmaz mı?

 I. durumda $u < s^{*}$ idi.

 $u < s^{*}=\sup(S)$ olduğundan $u, S$'nin üst sınırları kümesinde olamaz. Dolayısıyla $u$, $\{S \cup \{u\}\}$ kümesinin üst sınırları kümesine de ait değildir. Böylece $u$, bu kümenin supremumu olmaya aday değildir. O halde 

$\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S)$ olur.   

---

Evet, o kismi gormemistim. Fakat genel olarak $s^*$'in var olmasi yeterli ve $u \in S$ olsa da esitlik saglanir. 

$u$'nun supremuma aday olmamasi neden eski supremumu degistirmesin? Zaten gostermeye calistigimiz da bu degil mi?

"$u<s^*$ ise her $x \in S\cup \{u\}$ icin $x \le s^*$ olur. Bu bize $\sup(S\cup\{u\}) \le s^*$ der ve $s^*\in S$ oldugundan $\sup(S\cup\{u\}) \ge s^*$ olur."

Seklinde gostermemiz gerekli bence.