$(X,\tau)$ ve $(Y,\tau')$ topolojik uzaylar olmak üzere $$(\emptyset\neq A \subseteq X)(\emptyset\neq B \subseteq Y)$$ $$\Rightarrow$$ $$\left(\tau \star \tau'\right)_{A \times B}=\tau_{A} \star \tau'_{B}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

$\tau\times \tau'$ çarpım topolojisinin $A\times B$ kümesine relatif topolojisi, $\tau$ topolojisinin $A$ kümesine relatif topolojisi ile $\tau'$ topolojisinin $B$ kümesine relatif topolojisinin çarpım topolojisine eşittir.

Comments

Çarpım uzayları için bazları düşün.

---

En sonunda bu linkteki sonucu kullanacaksın.

Answer 1

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}=\{T\times T'|(T\in\tau)(T'\in\tau')\}, \ \ \tau\star\tau'  \,\ \text{ için baz} \\ \\ (\emptyset\neq A\subseteq X)(\emptyset\neq B\subseteq Y)\Rightarrow\emptyset\neq A\times B\subseteq X\times Y  \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow \mathcal{B}_{A\times B}=\{(A\times B)\cap (T\times T')|(T\in\tau)(T'\in\tau')\}, \ \ (\tau\star\tau')_{A\times B} \,\ \text{  için baz}\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}'=\{U\times V|(U\in\tau_A)(V\in\tau'_B)\}, \ \ \tau_A\star\tau'_B \,\ \text{ için baz} \\ U\in\tau_A\Rightarrow (\exists T\in\tau)(U=A\cap T) \\ V\in\tau'_B\Rightarrow (\exists T\in\tau')(V=B\cap T')  \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow \mathcal{B}'=\{(A\cap T)\times (B\cap T')|(T\in\tau)(T'\in\tau')\}, \ \ \tau_A\star\tau'_B \,\ \text{ için baz}$

$\Rightarrow \mathcal{B}'=\{(A\times B)\cap (T\times T')|(T\in\tau)(T'\in\tau')\}, \ \ \tau_A\star\tau'_B \,\ \text{ için baz}\ldots (2)$

$$(1),(2)\Rightarrow \mathcal{B}=\mathcal{B}'$$

$$(\mathcal{B}, \,\ \tau_A\star\tau_B' \,\ \text{ için baz})(\mathcal{B}, \,\ (\tau\star\tau')_{A\times B} \,\ \text{ için baz})$$

$$\overset{?}{\Rightarrow}$$

$$\tau_A\star\tau_B=(\tau\star\tau')_{A\times B}$$  Soru işaretinin gerekçesini bu linkte bulabilirsin.