Question

$\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{rcos\theta+\sqrt{1-r^2sin^2\theta}}$

integralinin sonucu nedir ?

Comments

Sanırım $-1<r<1$ olmalı.

---

Sanirim boyle bir bilgi yok soru icin.

Answer 1

$I=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{rcos\theta +\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}}d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{rcos\theta +\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}} \frac {rcos\theta -\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}} {rcos\theta -\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}}d\theta$ $$=\int_{0}^{2\pi} \frac{rcos\theta -\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}} {r^2cos^2\theta -1+r^2sin^2 \theta} d\theta$$ $$=\int_{0}^{2\pi} \frac{rcos\theta -\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}} {r^2-1} d\theta$$

$$=\frac{r}{r^2-1}\int_{0}^{2\pi} cos\theta d\theta-\frac{1}{r^2-1}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-r^2sin^2 \theta}d\theta$$ Buradan ilk integralin sonucu belli. İkinci integralin sonucu için de $r^2sin^2\theta=sin^2t$ dönüşümü yaparsanız sonuca ulaşırsınız. 

Not: Burada $0\leq r\leq 1$ olmalı.

Comments

$0\leq x<1$ olmali. $r^2 -1$ sifir da olamaz. 

Bir de bu integral almaya kafam bir turlu basmadigi icin soruyorum, $r$ neden negatif olamaz? Sezgilerim burada $r$'yi bir kompleks sayinin boyu, $\theta$'yi da acisi olarak goruyor. O yuzden $r$'nin negatif olmamasi gerektigini ongoruyorum. Ama, elimizde boyle bir bilgi yok. Tek bir degiskene bagli bir integral var ve a priori $r$ sadece sabit bir reel sayi gibi duruyor.

Bazen cok basit seyleri gereginden fazla karmasiklastiriyorum.

---

Son olarak $-1<r<1$ desek!

---

Tanımı îtibâriyle, $r$ bir noktanın orijine olan "uzaklığıdır". Uzaklık fonksiyonu, diğer bir deyişle "metrik", ise yine tanımı îtibâriyle negatif olmayan değerleri kabûl eder.

---

Bence de oyle! Ben de bu soruya baktigimda $r$'yi uzaklik olarak goruyorum. Ama,

$$\int_0^{2\pi} \frac{dy}{a\cos y + \sqrt{1 -a^2\sin^2y }}$$

dedigimde,ben $a$'yi uzaklik olarak gormuyorum, siz goruyor musunuz? Soruyu boyle sorsak $a$ negatif olabilir mi? $r$ bende de uzakligi cagristiriyor. Ben gercekten bilmedigim icin soruyorum. $r$ gordugum zaman hep sifirdan buyuk esit mi dusunmeliyim?

Sorunun sahibine not: Cok ince bir detaydan bahsediyorum ben burada, kafani karistirmak istemem. murad.ozkoc'un cevabina herhangi bir itirazim yok, sadece $r = 1$ olamaz. Zira, paydadaki $r^2 - 1$ ifadesini sifir yapiyor.

---

Tamâmen haklısınız. Matematikte teâmüller algılarımızı etkilemiyor değil. 

Ortada bir yerde böyle bir soru görseniz, dediğiniz gibi bütün ihtimalleri gözönüne almak gerekir. Fakat kitapların verdikleri sorularda, bağlamları îtibâriyle $r$'yi gâyet rahatlıkla negatif olmayan kabûl edebiliriz gibi geliyor. 

Sanırım burada verilen integralin "bağlamı" önem kazanıyor. Matematik açıdan bu belki "ayıp"tır! Ne yaptığını bildikten sonra problem yok bence. Ama böyle bir plâtforma sunulan sorularda her ayrıntının da belirtilmesi lâzım.

(Hattâ bâzı sorularda tanımların vs bile verilmesi lâzım bence.)